Represente as funções abaixo por meio de séries de potências e determine o raio de convergência.
x^5x+2

Passo 1

O enunciado pede para representar
x^5x+2
por meio de uma série de potências em torno de 0 e determinar o raio de convergência.
Conteúdo: vamos usar a expansão em série geométrica
11+t = sumn=0^infty(-1)^nt^n, |t|<1

Passo 2

Reescrevemos a função isolando uma parte na forma tfrac11+t. Note que
x^5x+2 = x^52l(1 + tfracx2r) = x^52;11 + tfracx2

Passo 3

Aplicamos a série geométrica com t = tfracx2. Para l|tfracx2r|<1 temos
11 + tfracx2 = sumn=0^infty(-1)^nl(x2r)^n
Multiplicando por tfracx^52, obtemos
x^5x+2 = x^52sumn=0^infty(-1)^nl(x2r)^n = sumn=0^infty(-1)^nx^n+52^,n+1

Passo 4

O critério de convergência dessa série é l|tfracx2r|<1, ou seja
|x|<2

Resposta

x^5x+2 = sumn=0^infty(-1)^nx^n+52^,n+1, raio de convergência R=2 ê

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