encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^prime prime+9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4,y'' + 9,y = 0
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica: supor solução exponencial y=e^r x, achar os valores de r e montar a combinação linear.

Passo 2

Suponha
y = e^r x
Então
y' = r,e^r x, y'' = r^2 e^r x
Substituindo na equação original:
4,(r^2e^r x) + 9,(e^r x) = 0 Longrightarrow e^r x,(4r^2 + 9) = 0

Passo 3

Como e^r xneq 0 para todo x, a parte que anula é a equação característica
4r^2 + 9 = 0
Isolando r:
r^2 = -tfrac94, r = pm tfrac32,i

Passo 4

As raízes são complexas conjugadas r1,2 = pm tfrac32i. Para esse caso, a solução geral se escreve como combinação de funções reais:
y(x) = C1cos!l(tfrac32xr) + C2sin!l(tfrac32xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Resposta

y(x) = C1cos!l(tfrac32xr) + C2sin!l(tfrac32xr)

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