encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y' + 2y = 0,
que é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y = e^r x. Substituindo na equação diferencial, temos
y = e^r x, y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x
Logo, ao substituir, obtemos
r^2 e^r x + 2r e^r x + 2 e^r x = 0

Passo 3

Como e^r xneq0, podemos dividir por e^r x e obter a equação característica
r^2 + 2r + 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante, temos
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = 4 - 8 = -4,
portanto as raízes são
r = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 5

Para raízes complexas da forma r = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = -1 e beta = 1, logo

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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