Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja
e
. Determine o ponto de maior e de menor temperaturas em
. Calcule as temperaturas máxima e mínima em
.
Passo 1
O enunciado define a função de temperatura
e o domínio compacto
Queremos encontrar o ponto de máximo e o de mínimo de
em
. Como
é contínua em
e
é compacto, as temperaturas extremas existem e ocorrem em pontos críticos internos (onde
) ou na fronteira de
.
Passo 2
Calculamos os pontos críticos internos de
.
implica
e
. Esse ponto
está em
. Avaliando ali,
Passo 3
Analisamos a fronteira em
, com
.
Em
temos
; em
temos
Passo 4
Analisamos a fronteira em
, com
.
Em
obtivemos de novo
; em
Passo 5
Analisamos a fronteira inclinada
. Parametrizamos por
, com
Então
Derivando em
:
Esse ponto é máximo local (parábola côncava para baixo), mas não dá temperatura menor que nos endpoints. Avaliando:
em ,
e
em
em
retorna
, e em
retorna
.
Passo 6
Reunindo todos os valores encontrados:
O maior valor é
em
.
O menor valor é em
.
O menor valor é
Resposta
O ponto de maior temperatura em
é
com
.
O ponto de menor temperatura em é
com
.
O ponto de menor temperatura em