Suponha que T(x, y)=4-x^2-y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja A= (x, y) in R^2 mid x >= 0, y >= 0 e 2 y+x <= 4. Determine o ponto de maior e de menor temperaturas em A. Calcule as temperaturas máxima e mínima em A.

Passo 1

O enunciado define a função de temperatura
T(x,y)=4 - x^2 - y^2
e o domínio compacto
A=(x,y)inR^2mid x>=0,;y>=0,;2y+x<=4
Queremos encontrar o ponto de máximo e o de mínimo de T em A. Como T é contínua em A e A é compacto, as temperaturas extremas existem e ocorrem em pontos críticos internos (onde nabla T=0) ou na fronteira de A.

Passo 2

Calculamos os pontos críticos internos de T.
nabla T(x,y)=(-2x,,-2y)=0
implica x=0 e y=0. Esse ponto (0,0) está em A. Avaliando ali,
T(0,0)=4-0^2-0^2=4

Passo 3

Analisamos a fronteira em x=0, com yin[0,2].
T(0,y)=4-y^2,
ddy(4-y^2)=-2y=0implies y=0 (endpoints são y=0,2) ã
Em y=0 temos T(0,0)=4; em y=2 temos
T(0,2)=4-2^2=0

Passo 4

Analisamos a fronteira em y=0, com xin[0,4].
T(x,0)=4-x^2,
ddx(4-x^2)=-2x=0implies x=0 (endpoints são x=0,4) ã
Em x=0 obtivemos de novo T(0,0)=4; em x=4
T(4,0)=4-4^2=4-16=-12

Passo 5

Analisamos a fronteira inclinada 2y+x=4. Parametrizamos por yin[0,2], com
x=4-2y, 0<= y<=2
Então
T(y)=4-(4-2y)^2 - y^2 =4-l(16-16y+4y^2r)-y^2 =-12+16y-5y^2
Derivando em y:
T'(y)=16-10y=0implies y=1,6(interior do intervalo)
Esse ponto é máximo local (parábola côncava para baixo), mas não dá temperatura menor que nos endpoints. Avaliando:
em y=1,6, x=4-2cdot1,6=0,8 e
T(0,8,1,6)=-12+16cdot1,6-5cdot(1,6)^2=0,8,
em y=0 retorna T(4,0)=-12, e em y=2 retorna T(0,2)=0.

Passo 6

Reunindo todos os valores encontrados:
T(0,0)=4, T(0,2)=0, T(4,0)=-12, T(0,8,1,6)=0,8
O maior valor é 4 em (0,0).
O menor valor é -12 em (4,0).

Resposta

O ponto de maior temperatura em A é (0,0) com Tmax=4.
O ponto de menor temperatura em A é (4,0) com Tmin=-12.

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