Calcule a integral de superficie integral duplaq v^2 d S, onde
S é a parte da esferra x^2+y^2+z^2=4 que esta dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano xy

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície integral duplaS z^2,dS, onde S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano xy. Vamos usar coordenadas esféricas para descrever a superfície e o elemento de área.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio 2 por x=2sinvarphicostheta, y=2sinvarphisintheta, z=2cosvarphi, com 0<=theta<=2pi e 0<=varphi<=pi/2. A condição x^2+y^2<=1 vira (2sinvarphi)^2<=1, ou seja sinvarphi<=1/2, logo 0<=varphi<=pi/6.

Passo 3

O elemento de área de superfície na esfera é dS=rho^2sinvarphi,dvarphi,dtheta com rho=2, logo dS=4sinvarphi,dvarphi,dtheta. E a função que vamos integrar é z^2=(2cosvarphi)^2=4cos^2varphi.

Passo 4

Montamos então a integral em (varphi,theta):
integral duplaS z^2,dS=integral0^2pi!integral0^pi/64cos^2varphitimes4sinvarphi,dvarphi,dtheta=16integral0^2pidthetaintegral0^pi/6cos^2varphisinvarphi,dvarphi

Passo 5

Para calcular I=integral0^pi/6cos^2varphisinvarphi,dvarphi, fazemos a substituição u=cosvarphi, de modo que du=-sinvarphi,dvarphi. Os limites vão de u(0)=1 até u(pi/6)=raiz3/2. Assim
I=integralu=1^raiz3/2u^2(-du)=integralraiz3/2^1u^2,du=l[tfracu^33r]raiz3/2^1=tfrac13-tfrac(raiz3/2)^33=tfrac8-3raiz324

Passo 6

Multiplicando por 16 e integrando em theta:
16cdot Iintegral0^2pidtheta=16cdottfrac8-3raiz324times2pi=2pil(tfrac163-2raiz3r)=tfrac32pi3-4piraiz3

Resposta

32pi3-4piraiz3

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