Calcule a integral de superficie
, onde
S é a parte da esferra
que esta dentro do cilindro
e acima do plano xy
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
, onde
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Vamos usar coordenadas esféricas para descrever a superfície e o elemento de área.
Passo 2
Parametrizamos a esfera de raio
por
,
,
, com
e
. A condição
vira
, ou seja
, logo
.
Passo 3
O elemento de área de superfície na esfera é
com
, logo
. E a função que vamos integrar é
.
Passo 4
Montamos então a integral em
:
Passo 5
Para calcular
, fazemos a substituição
, de modo que
. Os limites vão de
até
. Assim
Passo 6
Multiplicando por 16 e integrando em
: