Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2 d^5 yd x^5-7 d^4 yd x^4+12 d^3 yd x^3+8 d^2 yd x^2=0

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a solução geral da EDO linear homogênea de 5ª ordem com coeficientes constantes:
2 \frac{d{5}y}{dx{5}} - 7 \frac{d{4}y}{dx{4}} + 12 \frac{d{3}y}{dx{3}} + 8 \frac{d{2}y}{dx{2}} = 0
O conteúdo aqui é resolução de EDOs por equação característica. A gente vai precisar montar essa equação, encontrar as raízes e então montar a solução geral.

Passo 2

Para criar a equação característica, a gente supõe uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na EDO, cada derivada gera um fator r, e acabamos com:
2r^5 - 7r^4 + 12r^3 + 8r^2 = 0

Passo 3

Note que esse polinômio tem um fator comum r^2. Vamos tirar ele em evidência:
r^2l(2r^3 - 7r^2 + 12r + 8r) = 0
Isso já nos dá duas raízes iguais a r=0 (multiplicidade 2). Agora restou resolver o cúbico 2r^3 - 7r^2 + 12r + 8=0.

Passo 4

Para o cúbico, tentamos raízes racionais e descobrimos que r=-tfrac12 é raiz. Fazendo a divisão de polinômios por r+tfrac12 ou usando síntese de Ruffini, obtemos o quociente
2r^2 - 8r + 16
Então o fatoramento fica:
2r^3 - 7r^2 + 12r + 8 = (r + tfrac12)(2r^2 - 8r + 16)
E as raízes desse quadrático são dadas por
r = 8 pm raiz(-8)^2 - 4cdot2cdot162cdot2 = 8 pm raiz64 - 1284 = 8 pm 4i4 = 2 pm 2i

Passo 5

Agora reunindo tudo, as raízes da equação característica são:
r=0 (multiplicidade 2)
r=-tfrac12
r=2+2i
r=2-2i
Para montar a solução geral de uma EDO homogênea:
  • Cada raiz real simples r0 gera um termo C e^r0 x.
  • Cada raiz real dupla r0 gera termos C1 e^r0 x + C2 x e^r0 x.
  • Cada par de raízes complexas alphapm ibeta gera e^alpha x(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)).

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 + C2 x + C3 e^-x/2 + e^2xl(C4cos(2x) + C5sin(2x)r)
onde C1, C2, C3, C4, C5 são constantes arbitrárias.

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