Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a solução geral da EDO linear homogênea de 5ª ordem com coeficientes constantes:
2 \frac{d{5}y}{dx{5}} - 7 \frac{d{4}y}{dx{4}} + 12 \frac{d{3}y}{dx{3}} + 8 \frac{d{2}y}{dx{2}} = 0
O conteúdo aqui é resolução de EDOs por equação característica. A gente vai precisar montar essa equação, encontrar as raízes e então montar a solução geral.
Passo 2
Para criar a equação característica, a gente supõe uma solução do tipo
. Substituindo na EDO, cada derivada gera um fator
, e acabamos com:
Passo 3
Note que esse polinômio tem um fator comum
. Vamos tirar ele em evidência:
Isso já nos dá duas raízes iguais a
(multiplicidade 2). Agora restou resolver o cúbico
.
Passo 4
Para o cúbico, tentamos raízes racionais e descobrimos que
é raiz. Fazendo a divisão de polinômios por
ou usando síntese de Ruffini, obtemos o quociente
Então o fatoramento fica:
E as raízes desse quadrático são dadas por
Passo 5
Agora reunindo tudo, as raízes da equação característica são:
•
(multiplicidade 2)
•
•
•
•
•
•
Para montar a solução geral de uma EDO homogênea:
- Cada raiz real simples
gera um termo . - Cada raiz real dupla
gera termos . - Cada par de raízes complexas
gera .
Resposta
A solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.