Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quinta ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: EDO linear de coeficientes constantes. Vamos precisar usar a substituição típica
para obter a equação característica.
Passo 2
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial, obtemos a equação característica
Passo 3
Para fatorar o polinômio, agrupamos termos:
E notamos que
.
Passo 4
Assim, a fatoração completa é
Logo as raízes são:
(multiplicidade 2),
(multiplicidade 2),
(multiplicidade 1).
Passo 5
Pela teoria de EDOs lineares, cada raiz real
de multiplicidade
gera termos
,
. Portanto, a solução geral é