Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
d^5 yd x^5+5 d^4 yd x^4-2 d^3 yd x^3-10 d^2 yd x^2+d yd x+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quinta ordem com coeficientes constantes
d^5ydx^5 +5d^4ydx^4 -2d^3ydx^3 -10d^2ydx^2 +dydx +5y=0
Conteúdo: EDO linear de coeficientes constantes. Vamos precisar usar a substituição típica y=e^rx para obter a equação característica.

Passo 2

Substituindo y=e^rx e suas derivadas na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^5+5r^4-2r^3-10r^2+r+5=0

Passo 3

Para fatorar o polinômio, agrupamos termos:
r^5+5r^4-2r^3-10r^2+r+5 = r^4(r+5)-2r^2(r+5)+1,(r+5) =l(r^4-2r^2+1r)(r+5)
E notamos que r^4-2r^2+1=(r^2-1)^2=(r-1)^2(r+1)^2.

Passo 4

Assim, a fatoração completa é
(r-1)^2(r+1)^2(r+5)=0
Logo as raízes são:
r=1 (multiplicidade 2),
r=-1 (multiplicidade 2),
r=-5 (multiplicidade 1).

Passo 5

Pela teoria de EDOs lineares, cada raiz real r de multiplicidade m gera termos x^ke^r x, k=0,1,dots,m-1. Portanto, a solução geral é
y(x)=(C1+C2x)e^x+(C3+C4x)e^-x+C5e^-5x

Resposta

y(x)=(C1+C2x)e^x+(C3+C4x)e^-x+C5e^-5x

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