Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y^{\prime}=2 y+x\left(e^{3 x}-e^{2 x}\right), y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2\,y + x\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr),
com condição inicial y(0)=2.
Isso é um ODE linear da forma
y' - 2\,y = x\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr),
e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
e^{-2x}y' - 2\,e^{-2x}y = x\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr)e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada de y\,e^{-2x}, e o lado direito simplifica para
x\bigl(e^{x}-1\bigr).
Logo
\frac{d}{dx}\Bigl(y\,e^{-2x}\Bigr) = x\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
y\,e^{-2x} = \int x\,e^{x}\,dx \;-\; \int x\,dx + C.
Sabemos que
\int x\,e^{x}\,dx = (x-1)e^{x}, \quad \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2},
portanto
y\,e^{-2x} = (x-1)e^{x} \;-\;\frac{x^2}{2} + C.

Passo 4

Para aplicar a condição y(0)=2, note que em x=0:
y(0)\,e^{0} = (0-1)e^{0} - 0 + C \quad\Longrightarrow\quad 2 = -1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.
Substituindo C e isolando y, obtemos
y(x) = e^{2x}\Bigl((x-1)e^{x} - \tfrac{x^2}{2} + 3\Bigr).

Resposta

y(x) = e^{2x}\Bigl((x-1)e^{x} - \tfrac{x^2}{2} + 3\Bigr).

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