Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Este é um caso de equação de primeira ordem que podemos tratar como uma equação linear em
vista como função de
. Para isso, vamos reescrever em termos de
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
e por
(supondo
), temos
Isso coloca a equação na forma padrão
com
Passo 3
Para resolver uma equação linear em
, calculamos o fator integrante
Multiplicando toda a equação por
, obtemos
e nota-se que o lado esquerdo é a derivada de
, ou seja
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Falta calcular
. Usando integração por partes duas vezes, ou sabendo a fórmula para polinômio vezes exponencial, chega-se a
Assim, podemos incorporar essa constante na
geral e escrever
Passo 6
Por fim, isolamos
ou deixamos em forma implícita. A forma implícita costuma ser mais elegante para a solução geral:
Resposta
que é a solução geral da equação diferencial dada.