Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y d x=\left(y e^{y}-2 x\right) d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,dx = \bigl(y\,e^{y} - 2x\bigr)\,dy
e pede a solução geral. Este é um caso de equação de primeira ordem que podemos tratar como uma equação linear em x vista como função de y. Para isso, vamos reescrever em termos de \frac{dx}{dy}.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dy e por y (supondo y\neq0), temos
\frac{dx}{dy} = \frac{y\,e^{y} - 2x}{y} = e^{y} - \frac{2}{y}\,x.
Isso coloca a equação na forma padrão
\frac{dx}{dy} + P(y)\,x = Q(y),
com
P(y) = \frac{2}{y}, \quad Q(y) = e^{y}.

Passo 3

Para resolver uma equação linear em x, calculamos o fator integrante
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int P(y)\,dy\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{2}{y}\,dy\Bigr) = \exp\bigl(2\ln y\bigr) = y^{2}.
Multiplicando toda a equação por y^{2}, obtemos
y^{2}\,\frac{dx}{dy} + 2y\,x = y^{2}e^{y},
e nota-se que o lado esquerdo é a derivada de \,y^{2}x, ou seja
\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}x\bigr) = y^{2}e^{y}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a y:
y^{2}x = \int y^{2}e^{y}\,dy + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Falta calcular \int y^{2}e^{y}\,dy. Usando integração por partes duas vezes, ou sabendo a fórmula para polinômio vezes exponencial, chega-se a
\int y^{2}e^{y}\,dy = e^{y}(y^{2} - 2y + 2) + \text{constante}.
Assim, podemos incorporar essa constante na C geral e escrever
y^{2}x = e^{y}\bigl(y^{2} - 2y + 2\bigr) + C.

Passo 6

Por fim, isolamos x ou deixamos em forma implícita. A forma implícita costuma ser mais elegante para a solução geral:
y^{2}x - e^{y}\bigl(y^{2} - 2y + 2\bigr) = C.

Resposta

\boxed{y^{2}x - e^{y}\bigl(y^{2} - 2y + 2\bigr) = C,}
que é a solução geral da equação diferencial dada.

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