Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
. Esse tipo de equação está dentro do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo todos os termos da equação original por 3, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. No lado direito, a integral de
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Aqui, simplificamos
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Essa solução é válida para todo número real
, ou seja, no intervalo
.