Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
3 d yd x+y=e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é: 3 dydx + y = e^3x. Esse tipo de equação está dentro do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x)y = Q(x)
Dividindo todos os termos da equação original por 3, temos:
dydx + 13y = 13e^3x
Aqui, P(x) = 13 e Q(x) = 13e^3x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Calculando:
mu(x) = e^integral 13 dx = e^x3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto mu(x)y:
e^x3 dydx + 13e^x3 y = 13e^x3 e^3x
Isso simplifica para:
ddx(e^x3 y) = 13e^10x3

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^x3 y) dx = integral 13e^10x3 dx
A integral do lado esquerdo simplifica para e^x3 y. No lado direito, a integral de e^10x3 é 310e^10x3, então:
e^x3 y = 110e^10x3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para isolar y, dividimos ambos os lados por e^x3:
y = 110e^3x + C e^-x3
Aqui, simplificamos e^10x3 / e^x3 = e^3x.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 110e^3x + C e^-x3
Essa solução é válida para todo número real x, ou seja, no intervalo -infty < x < infty.

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