Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível. (revisar cônicas - elipse, hiperbole,parábola)
Passo 1
O enunciado pede para construir o mapa de contorno (curvas de nível) da função f(x,y)=y−2x². O conteúdo principal é entender o que são curvas de nível e reconhecer a forma cônica resultante. Para resolver, vamos precisar fixar um valor k e estudar f(x,y)=k.
Passo 2
Uma curva de nível corresponde ao conjunto de pontos (x,y) que satisfazem f(x,y)=k, ou seja,
Isolando y, obtemos
Passo 3
Cada equação
representa uma parábola voltada para cima com coeficiente angular quadrático igual a 2 e vértice em (0,k). Isso decorre do fato de que a seção cônica definida por y=Ax²+… é uma parábola quando o termo quadrático aparece apenas em x ou apenas em y.
Passo 4
Para visualizar o mapa de contorno, escolhemos vários valores de k, por exemplo k=−2,−1,0,1,2. Cada um desloca verticalmente o vértice para (0,k). Traçamos então as parábolas:
• Para k=−2: vértice em (0,−2) com equação y=2x²−2
• Para k=−1: vértice em (0,−1) com equação y=2x²−1
• Para k=0: vértice em (0,0) com equação y=2x²
• Para k=1: vértice em (0,1) com equação y=2x²+1
• Para k=2: vértice em (0,2) com equação y=2x²+2
• Para k=−2: vértice em (0,−2) com equação y=2x²−2
• Para k=−1: vértice em (0,−1) com equação y=2x²−1
• Para k=0: vértice em (0,0) com equação y=2x²
• Para k=1: vértice em (0,1) com equação y=2x²+1
• Para k=2: vértice em (0,2) com equação y=2x²+2
Passo 5
Sobrepondo essas parábolas no plano xy, obtemos o mapa de contorno: um conjunto de parábolas congruentes, abertas para cima e espaçadas verticalmente de acordo com k.
Resposta
O mapa de contorno é dado pela família de curvas de nível
para todo k\in\mathbb{R}, ou seja, parábolas voltadas para cima com vértices em (0,k).