Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem dydx=5y, que é um caso clássico de equação separável. Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando y no denominador de um lado e x do outro:
1y,dy = 5,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 5,dx implies ln|y| = 5x + C

Passo 4

Exponenciando para eliminar o logaritmo, obtemos
|y| = e^5x + C = e^C e^5x

Passo 5

Como e^C é apenas uma constante positiva, podemos chamar C1 = pm e^C. Assim a solução geral fica
y = C1 e^5x, C1inR

Passo 6

A função exponencial não impõe restrições a x, então a solução está definida para todo xinR.

Resposta

A solução geral é y = C e^5x, com constante arbitrária CinR, e está definida para xin(-infty,infty).

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