Mostre que a função
tem integral imprópria convergente em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função $ y = x e{-x{2}} $ tem uma integral imprópria que converge no intervalo de $ 4 $ até o infinito ($ [4, +\infty) $). Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente tratando de integrais que vão até o infinito ou que têm descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Ela ocorre quando estamos integrando uma função em um intervalo que vai até o infinito ou quando a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o intervalo vai até o infinito, então é uma integral imprópria.
Passo 3
Para verificar se essa integral imprópria converge (ou seja, tem um valor finito), precisamos calcular o limite da integral definida à medida que o limite superior tende ao infinito. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral $ \int x e{-x{2}} , dx $. Isso parece complicado, mas a gente pode resolver usando uma substituição simples. Vamos deixar claro:
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Escolha da substituição: Vamos deixar $ u = -x^{2} $. Por quê? Porque a derivada de $ -x^{2} $ é $ -2x $, que está relacionada ao $ x $ que temos na frente.
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Calcular $ du $: Derivando $ u = -x^{2} $, temos $ du = -2x , dx $, ou seja, $ -\frac{1}{2} du = x , dx $.
Passo 5
Substituindo na integral:
Voltando para variável original ($ u = -x^{2} $):
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de $ 4 $ até $ b $:
Passo 7
Para encontrar a integral imprópria, calculamos o limite quando $ b $ vai para $ +\infty $:
Sabemos que $ e{-b{2}} $ tende a zero quando $ b $ tende ao infinito, porque o expoente fica muito negativo.
Passo 8
Assim, o limite fica:
Isso é um número finito, então a integral converge.
Resposta
A integral imprópria $ \int_{4}^{+\infty} x e{-x{2}} , dx $ converge e seu valor é $ \frac{1}{2} e^{-16} $.