Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação (5x+4y),dx+(4x-8y^3),dy=0 é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos identificar as funções M(x,y) e N(x,y), checar as derivadas parciais e, se exata, encontrar a função potencial psi(x,y).

Passo 2

Identificamos M(x,y)=5x+4y e N(x,y)=4x-8y^3. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4, partial Npartial x=4

Passo 3

Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial psi(x,y) tal que psix=M, integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integral(5x+4y),dx=52x^2+4xy+h(y),onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 5

Usamos agora psiy=N para determinar h(y). Calculando:
psiy=4x+h'(y)=4x-8y^3Daí obtemos
h'(y)=-8y^3Longrightarrow h(y)=integral -8y^3,dy=-2y^4

Passo 6

Logo a função potencial completa é
psi(x,y)=52x^2+4xy-2y^4

Passo 7

A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por psi(x,y)=C, com C constante.

Resposta

A solução geral é
52x^2+4xy-2y^4=C

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