encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçāo geral é definida.
y d x+(x y+2 x-y e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y,dx + l(xy + 2x - y e^yr),dy = 0
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma equação quase-exata e encontrar um fator integrante do tipo mu(y). Precisamos testar exatidão, achar mu(y), tornar a equação exata e então obter a função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y, N(x,y) = x y + 2x - y e^y
Calculamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = y + 2,
e vemos que 1 neq y+2, logo não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(y). Para isso usamos
partial Npartial x - partial Mpartial yM = (y+2)-1y = y+1y,
que depende só de y. Então mu(y) satisfaz
dmumu = y+1y,dy = l(1 + 1yr),dy
Integrando,
lnmu = y + ln|y| + C Longrightarrow mu(y) = C',y,e^y
Podemos tomar mu(y)=y e^y.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(y)=y e^y:
y^2 e^y,dx + l(xy^2 e^y + 2xy e^y - y^2 e^2yr),dy = 0
Agora definimos
M^*(x,y) = y^2 e^y, N^*(x,y) = x y^2 e^y + 2x y e^y - y^2 e^2y,
e verificamos
partial M^*partial y = e^y(y^2+2y), partial N^*partial x = e^y(y^2+2y),
portanto a equação é exata.

Passo 5

Procuramos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M^* = y^2 e^y Longrightarrow Phi(x,y) = x,y^2 e^y + h(y)
Em seguida
partial Phipartial y = 2xy e^y + x y^2 e^y + h'(y)
deve igualar N^*. Assim
h'(y) = N^* - l(2xy e^y + x y^2 e^yr) = -,y^2 e^2y
Integramos
h(y) = integral -y^2 e^2y,dy = -y^22e^2y + integral y e^2y,dy = -y^22e^2y + y2e^2y - 14e^2y + C
Logo
Phi(x,y) = x,y^2 e^y - e^2y4l(2y^2 - 2y + 1r) = C

Passo 6

A solução geral fica, de forma implícita,
x,y^2 e^y - 2y^2 - 2y + 14,e^2y = C
Como usamos o fator integrante mu=y e^y, precisamos de yneq0. Portanto a solução está definida em qualquer região onde y>0 ou y<0.

Resposta

x,y^2 e^y - 2y^2 - 2y + 14,e^2y = C,
válida em intervalos onde y não muda de sinal (por exemplo y>0 ou y<0).

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