encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a soluçāo geral é definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma equação quase-exata e encontrar um fator integrante do tipo
. Precisamos testar exatidão, achar
, tornar a equação exata e então obter a função potencial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
e vemos que
, logo não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
. Para isso usamos
que depende só de
. Então
satisfaz
Integrando,
Podemos tomar
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Agora definimos
e verificamos
portanto a equação é exata.
Passo 5
Procuramos
tal que
Em seguida
deve igualar
. Assim
Integramos
Logo
Passo 6
A solução geral fica, de forma implícita,
Como usamos o fator integrante
, precisamos de
. Portanto a solução está definida em qualquer região onde
ou
.
Resposta
válida em intervalos onde
não muda de sinal (por exemplo
ou
).