Analisar a convergência das seguintes séries alternadas. Se são convergentes verificar se são absoluta ou condicionalmente convergentes. .
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e determinar se ela é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente. Vamos usar o Teste da Razão aplicado à série dos valores absolutos dos termos para verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Considere a série dos valores absolutos dos termos:
Aplicando o Teste da Razão, seja
an = 2^n-1n!
Então
an+1an = 2^n/(n+1)!2^n-1/n! = 2n+1,
e portanto
limntoinfty an+1an = limntoinfty 2n+1 = 0
Como esse limite é menor que 1, a série sum anconverge.
Passo 3
A convergência da série dos valores absolutos implica que a série original sumn=1^infty (-2)^n-1n!
é absolutamente convergente. Sendo absolutamente convergente, ela também é convergente (e não apenas condicionalmente).