Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(4 x^{3} y-15 x^{2}-y) d x+\left(x^{4}+3 y^{2}-x\right) d y=0

Passo 1

Resumindo, temos a equação diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 4x^{3}y - 15x^{2} - y, \quad N(x,y) = x^{4} + 3y^{2} - x.
O conteúdo é de equações exatas: precisamos verificar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, se for exata, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x = M e \psi_y = N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y - 15x^{2} - y\bigr) = 4x^{3} - 1,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4} + 3y^{2} - x\bigr) = 4x^{3} - 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) tal que \psi_x = M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int\bigl(4x^{3}y - 15x^{2} - y\bigr)\,dx = y\,\int 4x^{3}\,dx \;-\;15\int x^{2}\,dx \;-\;y\int 1\,dx + h(y).
Fazendo as integrais,
\psi(x,y) = y\,x^{4} \;-\;5x^{3} \;-\;x\,y \;+\; h(y).

Passo 4

Agora impomos \psi_y = N. Calculamos
\psi_y = x^{4} \;-\; x \;+\; h'(y)
e exigimos
\psi_y = x^{4} + 3y^{2} - x.
Logo
h'(y) = 3y^{2},
h(y) = \int 3y^{2}\,dy = y^{3} + C.
Assim,
\psi(x,y) = x^{4}y - 5x^{3} - x y + y^{3}.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^{4}y \;-\;5x^{3} \;-\;x y \;+\;y^{3} = C,
onde C é constante.

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