Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
(4 x^{3} y-15 x^{2}-y) d x+\left(x^{4}+3 y^{2}-x\right) d y=0
Passo 1
Resumindo, temos a equação diferencial
com
O conteúdo é de equações exatas: precisamos verificar se
e, se for exata, encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
:
Fazendo as integrais,
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
e exigimos
Logo
Assim,
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante.