Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}\

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x - e^{-x}}{y + e^{y}}.
Este tipo de equação é separável: podemos colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando em cruz:
(y + e^{y})\,dy = (x - e^{-x})\,dx.

Passo 3

Integre ambos os lados. No lado esquerdo:
\int (y + e^{y})\,dy = \int y\,dy + \int e^{y}\,dy = \frac{y^2}{2} + e^{y}.
No lado direito:
\int (x - e^{-x})\,dx = \int x\,dx - \int e^{-x}\,dx = \frac{x^2}{2} + e^{-x}.

Passo 4

Igualando as duas primitivas e introduzindo a constante de integração C, obtemos
\frac{y^2}{2} + e^{y} = \frac{x^2}{2} + e^{-x} + C.
Multiplicando por 2 e reunindo termos, uma forma equivalente é
y^2 + 2e^{y} - x^2 - 2e^{-x} = C'.

Resposta

\frac{y^2}{2} + e^{y} = \frac{x^2}{2} + e^{-x} + C \quad\text{ou}\quad y^2 + 2e^{y} - x^2 - 2e^{-x} = C'.

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