Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{`}=\frac{1+3 x^{2}}{3 y^{2}-6 y} ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=\frac{1+3x^{2}}{3y^{2}-6y}
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo aqui é o método de equações diferenciais separáveis: separar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3y^{2}-6y) e por dx:
(3y^{2}-6y)\,dy \;=\;(1+3x^{2})\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int (3y^{2}-6y)\,dy \;=\;\int (1+3x^{2})\,dx.
No lado esquerdo
\int 3y^{2}\,dy = y^{3}, \quad \int (-6y)\,dy = -3y^{2},
logo
\int (3y^{2}-6y)\,dy = y^{3}-3y^{2}.
No lado direito
\int 1\,dx = x, \quad \int 3x^{2}\,dx = x^{3},
logo
\int (1+3x^{2})\,dx = x + x^{3} + C.

Passo 4

Igualando as primitivas, obtemos a solução implícita
y^{3}-3y^{2} = x + x^{3} + C.
Usamos y(0)=1:
1^{3}-3\cdot1^{2} = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad -2 = C.

Passo 5

Substituindo C=-2 ficamos com a solução particular implícita
y^{3}-3y^{2} = x + x^{3} -2.
Essa relação define y em função de x e satisfaz y(0)=1.

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por
\boxed{y^{3}-3y^{2} = x^{3} + x -2.}

Exercícios relacionados