Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + x\,y + y^{2}}{x^{2}}.
Note que o lado direito é uma função homogênea de x e y de grau zero, pois pode ser escrita em função de y/x. Vamos usar a técnica de substituição para equações homogêneas.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = x\,v(x),
onde v(x)=y/x. Então
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^{2} + x\,(xv) + (xv)^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2} + x^{2}v + x^{2}v^{2}}{x^{2}} = 1 + v + v^{2}.

Passo 3

Isolando o termo com \frac{dv}{dx}, obtemos
x\frac{dv}{dx} = 1 + v + v^{2} - v = 1 + v^{2}.

Passo 4

Agora separamos variáveis:
\frac{dv}{1 + v^{2}} = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos os dois lados:
\int \frac{dv}{1 + v^{2}} = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(v) = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original, v = y/x, temos
\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = \tan\!\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),
logo a solução geral é
y = x \,\tan\!\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

Resposta

y = x \,\tan\!\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr),
onde C é uma constante arbitrária.

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