Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{`}+y^{2} \operatorname{sen}(x)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' + y^{2}\,\operatorname{sen}(x)=0.
Este tipo de equação é do tipo variáveis separáveis, pois podemos escrever y' como \frac{dy}{dx} e separar os termos em y e em x.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = -\,y^{2}\,\operatorname{sen}(x)
e separamos as variáveis, colocando todos os y de um lado e todos os x do outro:
\frac{dy}{y^{2}} = -\,\operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = - \int \operatorname{sen}(x)\,dx.
No lado esquerdo, \displaystyle \int y^{-2}dy = -\,\frac{1}{y}.
No lado direito, \displaystyle \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).
Logo, após a integração, obtemos
-\,\frac{1}{y} = -\bigl(-\cos(x)\bigr) + C \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{y} = \cos(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y:
\frac{1}{y} = -\cos(x) - C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = C_{1} - \cos(x),
onde C_{1} = -C é outra constante arbitrária.
Portanto, a solução geral é
y(x) = \frac{1}{C_{1} - \cos(x)}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{C - \cos(x)},
onde C é a constante de integração.

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