Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{4 y-3 x}{2 x-y}\

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{4y - 3x}{2x - y}
que é homogênea (os termos de x e y aparecem no mesmo grau). Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas, definindo
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Com y = v x, temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4y - 3x}{2x - y} e trocando y por v x, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{4(vx) - 3x}{2x - (vx)} = \frac{x(4v - 3)}{x(2 - v)} = \frac{4v - 3}{2 - v}.
Reorganizando, isolamos \displaystyle \frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = \frac{4v - 3}{2 - v} - v = \frac{(4v-3) - v(2-v)}{2 - v} = \frac{v^2 + 2v -3}{2 - v} = \frac{(v+3)(v-1)}{2 - v}.

Passo 3

Agora separamos variáveis:
\frac{2 - v}{(v+3)(v-1)}\,dv = \frac{dx}{x}.
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
\frac{2 - v}{(v+3)(v-1)} = \frac{1/4}{v-1} \;-\;\frac{5/4}{v+3}.
Assim,
\int\!\Bigl(\frac{1/4}{v-1} - \frac{5/4}{v+3}\Bigr) dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4}\ln\lvert v-1\rvert - \frac{5}{4}\ln\lvert v+3\rvert = \ln\lvert x\rvert + C_1.
Multiplicando por 4 e exponenciando, fica
\ln\frac{\lvert v-1\rvert}{\lvert v+3\rvert^5} = \ln\lvert x^4\rvert + C_2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{v-1}{(v+3)^5} = C\,x^4.

Passo 4

Volta à variável original com v = \tfrac{y}{x}:
\frac{\tfrac{y}{x}-1}{\bigl(\tfrac{y}{x}+3\bigr)^5} = C\,x^4 \;\Longrightarrow\; \frac{y - x}{x}\;\cdot\;\frac{x^5}{(y+3x)^5} = C\,x^4 \;\Longrightarrow\; \frac{y - x}{(y+3x)^5} = C.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
\boxed{\frac{y - x}{(y + 3x)^5} = C,}
onde C é constante arbitrária.

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