Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y}{x-y}\

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x+3y}{x-y}.
Este tipo de equação é homogênea (o quociente do polinômio de x,y é função de y/x), então vamos usar a substituição
y=vx,
isto é, v=y/x.

Passo 2

Substituindo y=vx temos
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Por outro lado, o lado direito fica
\frac{x+3y}{x-y} =\frac{x+3(vx)}{x-(vx)} =\frac{1+3v}{1-v}.
Igualando as duas expressões,
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{1+3v}{1-v}
de onde
x\frac{dv}{dx} =\frac{1+3v}{1-v}-v =\frac{(v+1)^2}{1-v}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv =\frac{dx}{x}.

Passo 4

Calculamos a integral de cada lado. No lado de v,
\int\frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv =\int\Bigl(\frac{2}{(v+1)^2}-\frac{1}{v+1}\Bigr)\,dv =-\frac{2}{v+1}-\ln\bigl|v+1\bigr|+C_1.
No lado de x,
\int\frac{dx}{x}=\ln\bigl|x\bigr|+C_2.
Igualando e absorvendo constantes em C,
-\frac{2}{v+1}-\ln\bigl|v+1\bigr| =\ln\bigl|x\bigr|+C.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembramos que
v+1=\frac{y}{x}+1=\frac{x+y}{x}.
Então
-\frac{2}{v+1} =-\frac{2x}{x+y}, \quad \ln\bigl|v+1\bigr| =\ln\bigl|\tfrac{x+y}{x}\bigr| =\ln\bigl|x+y\bigr|-\ln\bigl|x\bigr|.
Substituindo em
-\frac{2}{v+1}-\ln\bigl|v+1\bigr| =\ln\bigl|x\bigr|+C
e cancelando \ln|x|, obtemos a forma implícita da solução:
-\frac{2x}{x+y}-\ln\bigl|x+y\bigr|=C,
ou equivalentemente
\ln\bigl|x+y\bigr|+\frac{2x}{x+y}=C'.

Resposta

\ln\bigl|x+y\bigr|+\frac{2x}{x+y}=C,
onde C é constante arbitrária.

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