Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=y\left(x y^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{dy}{dx} = y\bigl(x y^{3}-1\bigr).
Reconhecemos que ela pode ser escrita como
\frac{dy}{dx} + y = x\,y^{4},
que está no formato de uma equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=1, Q(x)=x e n=4. Para resolver, faremos a substituição típica de Bernoulli.

Passo 2

Fazemos a substituição
v = y^{1-n} = y^{1-4} = y^{-3}.
Calculamos então
\frac{dv}{dx} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx},
de onde
\frac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{3}\,y^{4}\,\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Substituindo \frac{dy}{dx} e v na equação original
\frac{dy}{dx} + y = x\,y^{4}
vem
-\tfrac{1}{3}\,y^{4}\,\frac{dv}{dx} + y = x\,y^{4}.
Dividindo tudo por y^{4} (considerando y\neq0), note que y/y^4 = y^{-3}=v. Obtemos
-\tfrac{1}{3}\,\frac{dv}{dx} + v = x.
Multiplicando por -3, chega-se a
\frac{dv}{dx} - 3\,v = -3\,x,
que é uma equação linear em v.

Passo 4

Para resolver
\frac{dv}{dx} - 3\,v = -3\,x
usa-se fator integrante \mu(x)=e^{-3x}. Multiplicando tudo por \mu e integrando:
\frac{d}{dx}\bigl(v\,e^{-3x}\bigr) = -3x\,e^{-3x} \quad\Longrightarrow\quad v\,e^{-3x} = \int -3x\,e^{-3x}\,dx + C.
Fazendo integração por partes em \int -3x\,e^{-3x}dx
\int -3x\,e^{-3x}dx = e^{-3x}\Bigl(x + \tfrac{1}{3}\Bigr) + C_1.
Logo
v\,e^{-3x} = e^{-3x}\Bigl(x + \tfrac{1}{3}\Bigr) + C \quad\Longrightarrow\quad v = x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}.

Passo 5

Voltando à substituição v=y^{-3}, temos
y^{-3} = x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}.
Invertendo para y,
y(x) = \Bigl(x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}\Bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.
Além disso, há a solução singular trivial y\equiv0.

Resposta

A solução geral é
y(x) = 0 \quad\text{ou}\quad y(x) = \Bigl(x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}\Bigr)^{-\tfrac{1}{3}},
onde C é a constante de integração.

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