Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}=e^{2 x}+\left(1+2 e^{2 x}\right) y+y^{2} ; y_{1}=-e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
\frac{dy}{dx}=y^{2}+\bigl(1+2e^{2x}\bigr)y+e^{2x}
e informa a solução particular y_{1}=-e^{x}. Para resolver precisamos transformar em uma equação linear de primeira ordem usando a substituição padrão de Riccati.

Passo 2

Definimos
y=y_{1}+z=-e^{x}+z.
Substituindo na equação original e usando que y_{1} satisfaz
\;y_{1}'=y_{1}^{2}+(1+2e^{2x})y_{1}+e^{2x},
obtém-se para z a equação de Bernoulli
\frac{dz}{dx}=\bigl(1+2e^{2x}+2y_{1}\bigr)z+z^{2} =\bigl(1+2e^{2x}-2e^{x}\bigr)z+z^{2}.
Fazendo a nova troca z=1/u temos
\frac{dz}{dx}=-\frac{u'}{u^{2}},
logo a equação vira
-\frac{u'}{u^{2}} =\bigl(1+2e^{2x}-2e^{x}\bigr)\frac{1}{u}+\frac{1}{u^{2}},
que simplifica para a linear
u'+\bigl(1+2e^{2x}-2e^{x}\bigr)\,u=-1.

Passo 3

Para resolver
u'+P(x)\,u=-1, \quad P(x)=1+2e^{2x}-2e^{x},
calculamos o fator integrante
\mu(x) =\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr).
Multiplicando a ODE por \mu e integrando:
\frac{d}{dx}\bigl(\mu\,u\bigr)=-\mu \quad\Longrightarrow\quad \mu\,u=-\int \mu\,dx +C.
Portanto
u(x) =e^{-\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)} \Bigl(-\int e^{\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)}dx +C\Bigr).

Passo 4

Voltando à variável original
y(x)=-e^{x}+z =-e^{x}+\frac{1}{u(x)},
logo a solução geral é
y(x) =-e^{x} +\frac{1}{\,e^{-\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)} \bigl(-\int e^{\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)}dx +C\bigr)\,}
que pode ser reescrita em forma mais compacta como
y(x) =-e^{x} +\frac{e^{\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)}} {\,C-\displaystyle\int e^{\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)}dx\,}.

Resposta

\boxed{% y(x) =-e^{x} +\frac{e^{\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)}} {\,C-\displaystyle\int e^{\,\bigl(x+e^{2x}-2e^{x}\bigr)}dx\,}, \quad C\text{ constante arbitrária.}}

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