Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=12 e^{x^{2}}+12 e^{-2}

Passo 1

Temos a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
y'' + y' - 6y = 12 e^{x^2} + 12 e^{-2}.
O procedimento é: primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada, depois obter uma solução particular para cada termo do lado direito (superposição) e, por fim, somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y'' + y' -6y = 0.
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0
cuja solução é
r = 2,\quad r = -3.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo constante 12 e^{-2} (que é apenas uma constante), buscamos y_{p2}=A. Substituindo em y''+y'-6y=12 e^{-2}
0 + 0 - 6A = 12 e^{-2} \quad\Longrightarrow\quad A = -2 e^{-2}.
Portanto
y_{p2}(x) = -2 e^{-2}.

Passo 4

Para o termo 12 e^{x^2} usamos variação de parâmetros sobre as soluções y_1=e^{2x} e y_2=e^{-3x}. O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} e^{2x} & e^{-3x}\\[6pt] 2e^{2x} & -3e^{-3x} \end{vmatrix} = -5e^{-x}.
As fórmulas dão a solução particular
y_{p1}(x) = -y_1(x)\,\int \frac{y_2(x)\,12e^{x^2}}{W(x)}\,dx + y_2(x)\,\int \frac{y_1(x)\,12e^{x^2}}{W(x)}\,dx.
Substituindo y_1,y_2,W e simplificando, obtemos
y_{p1}(x) = \frac{12}{5}\,e^{2x}\int^x e^{t^2-2t}\,dt -\frac{12}{5}\,e^{-3x}\int^x e^{t^2+3t}\,dt.]

Resposta

A solução geral da equação dada é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} -2e^{-2} +\frac{12}{5}\,e^{2x}\int^x e^{t^2-2t}\,dt -\frac{12}{5}\,e^{-3x}\int^x e^{t^2+3t}\,dt.

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