Encontre a solução geral da equação diferencial dada. y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=12 e^{x^{2}}+12 e^{-2}
Passo 1
Temos a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem
y'' + y' - 6y = 12 e^{x^2} + 12 e^{-2}.
O procedimento é: primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada, depois obter uma solução particular para cada termo do lado direito (superposição) e, por fim, somar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Equação homogênea associada:
y'' + y' -6y = 0.
A equação característica é
r^2 + r - 6 = 0
cuja solução é
r = 2,\quad r = -3.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.
Passo 3
Para o termo constante 12 e^{-2} (que é apenas uma constante), buscamos y_{p2}=A. Substituindo em y''+y'-6y=12 e^{-2} dá