Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{3}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3e^{3}.
O que precisamos é (1) encontrar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e (2) obter uma solução particular para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' - 3y = 0.
Montamos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
e resolvemos por fórmula de Bhaskara:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
Logo temos as raízes r=3 e r=-1, e a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para a parte não homogênea queremos uma solução particular de
y'' - 2y' - 3y = 3e^{3}.
Note que o lado direito é uma constante (pois e^3 é apenas um número). Então tentamos
y_p(x) = A,
onde A é constante. Calculando as derivadas, y_p'=0 e y_p''=0. Substituindo:
0 - 2\cdot0 - 3A = 3e^{3} \quad\Longrightarrow\quad -3A = 3e^{3} \quad\Longrightarrow\quad A = -e^{3}.
Logo uma solução particular é
y_p(x) = -e^{3}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - e^{3}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} - e^{3}.

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