Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O que precisamos é (1) encontrar a solução geral da parte homogênea usando a equação característica e (2) obter uma solução particular para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Montamos a equação característica
e resolvemos por fórmula de Bhaskara:
Logo temos as raízes
e
, e a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea queremos uma solução particular de
Note que o lado direito é uma constante (pois
é apenas um número). Então tentamos
onde
é constante. Calculando as derivadas,
e
. Substituindo:
Logo uma solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: