Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=4 e^{-i} \cos 2 t, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O problema pede a solução da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y''+2y'+5y=4e^{-i}\cos2t
com as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é: solução geral = solução complementar (equação homogênea) + particular (método dos coeficientes a determinar).

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''+2y'+5y=0
montamos a equação característica
r^2+2r+5=0\quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm2i.
Logo a solução complementar é
y_h(t)=e^{-t}\bigl(A\cos2t+B\sin2t\bigr),
onde A e B são constantes a ajustar.

Passo 3

Para achar uma particular para o termo 4e^{-i}\cos2t, usamos o ansatz
y_p(t)=e^{-i}\bigl(C\cos2t+D\sin2t\bigr).
Aqui C e D são constantes complexas a determinar.

Passo 4

Calculamos y_p' e y_p'':
y_p'=e^{-i}\bigl(-2C\sin2t+2D\cos2t\bigr),\qquad y_p''=-4e^{-i}\bigl(C\cos2t+D\sin2t\bigr).
Substituindo em y''+2y'+5y obtém-se, agrupando \cos2t e \sin2t,
e^{-i}\bigl[(C+4D)\cos2t+(-4C+D)\sin2t\bigr] \;=\;4e^{-i}\cos2t.
Igualando coeficientes:
C+4D=4,\quad -4C+D=0\quad\Longrightarrow\quad C=\frac{4}{17},\;D=\frac{16}{17}.
Assim
y_p(t)=e^{-i}\Bigl(\frac{4}{17}\cos2t+\frac{16}{17}\sin2t\Bigr).

Passo 5

A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =e^{-t}\bigl(A\cos2t+B\sin2t\bigr) +e^{-i}\Bigl(\frac{4}{17}\cos2t+\frac{16}{17}\sin2t\Bigr).

Passo 6

Impondo y(0)=1 e y'(0)=0:
  • Em t=0:
y(0)=A+e^{-i}\frac{4}{17}=1 \;\Longrightarrow\; A=1-\frac{4}{17}e^{-i}.
  • Para y'(t) derivamos y_h e y_p; em t=0 surge
y'(0)=-A+2B+\frac{32}{17}e^{-i}=0 \;\Longrightarrow\; 2B=1-\frac{36}{17}e^{-i} \;\Longrightarrow\; B=\frac12-\frac{18}{17}e^{-i}.

Resposta

\boxed{ y(t) =e^{-t}\Bigl[\bigl(1-\tfrac{4}{17}e^{-i}\bigr)\cos2t +\bigl(\tfrac12-\tfrac{18}{17}e^{-i}\bigr)\sin2t\Bigr] +e^{-i}\Bigl(\tfrac{4}{17}\cos2t+\tfrac{16}{17}\sin2t\Bigr). }

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