(a) Determine uma forma adequada para
para usar o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Use umsistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.
(b) Use umsistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede (a) um formato de
para o método dos coeficientes indeterminados e (b) uma solução particular usando um sistema de álgebra computacional. Vamos usar a teoria de equações lineares com termos de forçamento do tipo
ou
, lembrando que se
for raiz do polinômio característico há fator extra de
.
Passo 2
O polinômio característico é
- Para o termo
temos , que coincide com as raízes do homogêneo (ressonância de ordem 1). Como o polinômio em tem grau 1, a ansatz é
- Para o termo
temos , sem ressonância. Polinômio de grau 1 em dá
Logo, a forma total é
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
usa-se um sistema algébrico obtido ao substituir
em
e igualar aos forçamentos. Por exemplo, com o Sympy em Python:
t= symbols('t', rea\(l=T\)rue)
a,b,c,d,e,f,g,h = symbols('a b c d e f g h')
Y\(1=\) exp(-t)*((a*t**\(2+\)b*t)*cos(2*t)+(c*t**\(2+\)d*t)*sin(2*t))
Y\(2=\) exp(-2*t)*((e*\(t+f\))*cos(t)+(g*\(t+h\))*sin(t))
ode = diff(Y\(1+\)Y2, t,2)\(+2\)*diff(Y\(1+\)Y2,t)\(+5\)*(Y\(1+\)Y2)\neqs = simplify(ode - (3*t*exp(-t)*cos(2*t) - 2*t*exp(-2*t)*cos(t)))
sol = solve(coeffs(eqs, [exp(-t)*cos(2*t), exp(-t)*sin(2*t),
exp(-2*t)*cos(t), exp(-2*t)*sin(t)]),
[a,b,c,d,e,f,g,h])
Isso retorna valores exatos para os coeficientes.
Passo 4
O sistema acima fornece
Portanto uma solução particular é