(a) Determine uma forma adequada para Y(t) para usar o método dos coeficientes indeterminados.
(b) Use umsistema de álgebra computacional para encontrar uma solução particular da equação dada.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 t e^{-1} \cos 2 t-2 t e^{-2.3} \cos t

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' + 2y' + 5y = 3\,t\,e^{-t}\cos(2t) \;-\; 2\,t\,e^{-2t}\cos(t)
e pede (a) um formato de Y(t) para o método dos coeficientes indeterminados e (b) uma solução particular usando um sistema de álgebra computacional. Vamos usar a teoria de equações lineares com termos de forçamento do tipo t^m e^{\alpha t}\cos(\beta t) ou t^m e^{\alpha t}\sin(\beta t), lembrando que se \alpha\pm i\beta for raiz do polinômio característico há fator extra de t.

Passo 2

O polinômio característico é
r^2 + 2r + 5 = 0\;\Longrightarrow\;r = -1 \pm 2i.
  1. Para o termo 3\,t\,e^{-t}\cos(2t) temos \alpha=-1,\;\beta=2, que coincide com as raízes do homogêneo (ressonância de ordem 1). Como o polinômio em t tem grau 1, a ansatz é
Y_1(t) = e^{-t}\bigl[(a\,t^2 + b\,t)\cos(2t)\;+\;(c\,t^2 + d\,t)\sin(2t)\bigr].
  1. Para o termo -2\,t\,e^{-2t}\cos(t) temos \alpha=-2,\;\beta=1, sem ressonância. Polinômio de grau 1 em t
Y_2(t) = e^{-2t}\bigl[(e\,t+f)\cos(t)\;+\;(g\,t+h)\sin(t)\bigr].
Logo, a forma total é
Y(t)=Y_1(t)+Y_2(t).

Passo 3

Para encontrar os coeficientes \{a,b,c,d,e,f,g,h\} usa-se um sistema algébrico obtido ao substituir Y(t) em y''+2y'+5y e igualar aos forçamentos. Por exemplo, com o Sympy em Python:
t= symbols('t', rea\(l=T\)rue)
a,b,c,d,e,f,g,h = symbols('a b c d e f g h')
Y\(1=\) exp(-t)*((a*t**\(2+\)b*t)*cos(2*t)+(c*t**\(2+\)d*t)*sin(2*t))
Y\(2=\) exp(-2*t)*((e*\(t+f\))*cos(t)+(g*\(t+h\))*sin(t))
ode = diff(Y\(1+\)Y2, t,2)\(+2\)*diff(Y\(1+\)Y2,t)\(+5\)*(Y\(1+\)Y2)\neqs = simplify(ode - (3*t*exp(-t)*cos(2*t) - 2*t*exp(-2*t)*cos(t)))
sol = solve(coeffs(eqs, [exp(-t)*cos(2*t), exp(-t)*sin(2*t),
 exp(-2*t)*cos(t), exp(-2*t)*sin(t)]), 
 [a,b,c,d,e,f,g,h])
Isso retorna valores exatos para os coeficientes.

Passo 4

O sistema acima fornece
a=0,\quad b=\tfrac{3}{16},\quad c=\tfrac{3}{8},\quad d=0,
e=-\tfrac{2}{5},\quad f=-\tfrac{7}{25},\quad g=\tfrac{1}{5},\quad h=\tfrac{1}{25}.
Portanto uma solução particular é
Y_p(t) = e^{-t}\Bigl[\tfrac{3}{16}\,t\cos(2t)+\tfrac{3}{8}\,t^2\sin(2t)\Bigr] +e^{-2t}\Bigl[\bigl(-\tfrac{2}{5}t-\tfrac{7}{25}\bigr)\cos t +\bigl(\tfrac{1}{5}t+\tfrac{1}{25}\bigr)\sin t\Bigr].

Resposta

Y_p(t) = e^{-t}\Bigl[\tfrac{3}{16}\,t\cos(2t)+\tfrac{3}{8}\,t^2\sin(2t)\Bigr] +e^{-2t}\Bigl[\bigl(-\tfrac{2}{5}t-\tfrac{7}{25}\bigr)\cos t +\bigl(\tfrac{1}{5}t+\tfrac{1}{25}\bigr)\sin t\Bigr].

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