Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime \prime}+3 y^{\’}+2 y=0)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' + 3y' + 2y = 0.
Informações dadas: a equação é homogênea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Não foram fornecidas condições iniciais, então precisamos obter a família geral de soluções com constantes arbitrárias.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e intuitiva): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente tentar soluções da forma y=e^{r x}. Por que isso? Porque derivar e^{r x} só multiplica por r, então ao substituir na equação diferencial obtemos uma equação algébrica em r (chamada equação característica). Essa transformação reduz um problema de derivadas para um polinômio, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Aplicando a tentativa y=e^{r x}. Calculamos as derivadas:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^2 e^{r x}.
Substituindo na equação diferencial:
r^2 e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica em r:
r^2 + 3r + 2 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica. O polinômio r^2+3r+2 fatoriza facilmente:
r^2+3r+2 = (r+1)(r+2).
Logo as raízes são
r=-1\quad\text{e}\quad r=-2.

Passo 5

Interpretação das raízes e construção da solução geral: como as raízes r=-1 e r=-2 são reais e distintas, as duas soluções independentes da equação são e^{-x} e e^{-2x}. Pelo princípio de superposição (a equação é linear e homogênea), a solução geral é a combinação linear dessas soluções:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais, se estivermos procurando soluções reais).

Passo 6

Verificação rápida de independência (para garantir que temos duas constantes livremente): o Wronskiano das soluções e^{-x} e e^{-2x} é
W(x)=\begin{vmatrix} e^{-x} & e^{-2x} \\\\ -e^{-x} & -2e^{-2x} \end{vmatrix} = -2e^{-3x}+e^{-3x} = -e^{-3x}\neq 0,
para todo x. Como o Wronskiano é não nulo, as duas soluções são linearmente independentes e geram o espaço solução de dimensão 2, como esperado.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-2x}

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