Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0)
(2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede a solução geral
.
Informações relevantes que temos: os coeficientes são constantes ( ,
,
) e é uma equação linear homogênea de ordem 2, portanto a solução geral deverá envolver duas constantes arbitrárias.
Informações relevantes que temos: os coeficientes são constantes (
Passo 2
Vamos tentar a técnica padrão para este tipo de equação: procurar soluções da forma exponencial
, onde
é um número (possivelmente complexo) que ainda vamos determinar. Primeiro calculemos as derivadas necessárias substituindo essa forma.
As derivadas de
são
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação original. Como todos os termos têm fator comum
, obtemos:
Colocando
em evidência:
Como
para todo
, a única forma de a igualdade valer é que o polinômio do parêntese se anule. Assim chegamos à equação característica
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática
. Vou usar a fórmula quadrática geral: para uma equação
as raízes são
Aqui
,
,
. Primeiro o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais distintas. Calculando:
Portanto as raízes são
É sempre uma boa prática conferir: substituindo
em
dá
; substituindo
dá
. Tudo certo.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, as funções
e
são soluções independentes da equação diferencial, e a solução geral é a combinação linear delas com duas constantes arbitrárias. Assim, usando
e
, a solução geral é
onde
e
são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se forem dadas.