Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2\,y''-3\,y'+y=0
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes que temos: os coeficientes são constantes ( 2, -3, 1) e é uma equação linear homogênea de ordem 2, portanto a solução geral deverá envolver duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Vamos tentar a técnica padrão para este tipo de equação: procurar soluções da forma exponencial \,y=e^{r x}\,, onde r é um número (possivelmente complexo) que ainda vamos determinar. Primeiro calculemos as derivadas necessárias substituindo essa forma.
As derivadas de \,y=e^{r x}\, são
y' = r\,e^{r x},
y'' = r^{2}\,e^{r x}.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação original. Como todos os termos têm fator comum e^{r x}, obtemos:
2\,(r^{2}\,e^{r x}) - 3\,(r\,e^{r x}) + 1\cdot (e^{r x}) = 0.
Colocando e^{r x} em evidência:
\bigl(2r^{2}-3r+1\bigr)\,e^{r x}=0.
Como \,e^{r x}\neq 0 para todo x, a única forma de a igualdade valer é que o polinômio do parêntese se anule. Assim chegamos à equação característica
2r^{2}-3r+1=0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática \,2r^{2}-3r+1=0. Vou usar a fórmula quadrática geral: para uma equação a r^{2}+b r + c = 0 as raízes são
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=2, b=-3, c=1. Primeiro o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\cdot 2\cdot 1 = 9-8=1.
Como \Delta=1>0, temos duas raízes reais distintas. Calculando:
r = \frac{-(-3)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 2} = \frac{3\pm 1}{4}.
Portanto as raízes são
r_{1}=\frac{3+1}{4}=1,
r_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}.
É sempre uma boa prática conferir: substituindo r=1 em 2r^{2}-3r+1 2-3+1=0; substituindo r=\tfrac{1}{2} 2\cdot\tfrac{1}{4}-3\cdot\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}+1=0. Tudo certo.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções independentes da equação diferencial, e a solução geral é a combinação linear delas com duas constantes arbitrárias. Assim, usando r_{1}=1 e r_{2}=\tfrac{1}{2}, a solução geral é
y(x)=C_{1}\,e^{x}+C_{2}\,e^{\tfrac{x}{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais, se forem dadas.

Resposta

y(x)=C_{1}\,e^{x}+C_{2}\,e^{\tfrac{x}{2}}

Exercícios relacionados