encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - Precisamos encontrar a solução geral
, ou seja, a família de soluções que contém duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática): para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral é a soma de duas partes:
onde
é a solução geral da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero) e
é uma solução particular da equação completa. Vou primeiro achar
e depois um
apropriado usando o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que é adequado quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la: ela fatoriza como
portanto as raízes são
e
, ambas reais e distintas. Para raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação curta sobre por quê: cada raiz
da característica gera a solução
; combinações lineares funcionam porque a equação é linear.
Passo 4
Escolher um ansatz (chute) para a solução particular
. O termo não-homogêneo é
. O chute padrão para um termo
é
com
constante. Porém, se
já é solução da homogênea (isto é, se
é raiz da característica), devemos multiplicar o chute por
elevado à multiplicidade da raiz para obter um ansatz válido. Aqui
e vemos que
corresponde à raiz
da característica (simples). Logo multiplicamos por
uma vez e escolhemos
onde
é uma constante a determinar.
Explicação do porquê multiplicar por
: se não fizermos isso, o substituto seria colinear com uma solução homogênea e não permitiria ajustar para igualar o termo não-homogêneo.
Passo 5
Calcular as derivadas necessárias de
. Usamos a regra do produto e a derivada de
.
Primeira derivada:
Aplicando produto:
Segunda derivada:
Derivando (novamente produto entre
e
):
Derivando
Passo a passo das contas: derivada de
é
. Derivada de
é
.
Passo 6
Substituir
,
e
na equação diferencial e resolver para
.
LHS da equação com
:
Colocando
em evidência:
Agora simplificamos o colchete:
Logo
Isso deve ser igual ao lado direito
. Assim
Passo 7
Portanto a solução particular é
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Dica prática para prova: sempre cheque se a função escolhida para
não “colide” com soluções da homogênea; se colidir, multiplique por
tantas vezes quanto a multiplicidade da raiz correspondente.