encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=8 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 5y' + 4y = 8e^{x}.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é 8e^{x}.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), ou seja, a família de soluções que contém duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática): para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral é a soma de duas partes:
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada (quando o lado direito é zero) e y_p é uma solução particular da equação completa. Vou primeiro achar y_h e depois um y_p apropriado usando o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que é adequado quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''-5y'+4y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^2 - 5r + 4 = 0.
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la: ela fatoriza como
r^2 - 5r + 4 = (r-1)(r-4)=0,
portanto as raízes são r=1 e r=4, ambas reais e distintas. Para raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{1\cdot x} + C_2 e^{4\cdot x} = C_1 e^{x} + C_2 e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação curta sobre por quê: cada raiz r da característica gera a solução e^{rx}; combinações lineares funcionam porque a equação é linear.

Passo 4

Escolher um ansatz (chute) para a solução particular y_p. O termo não-homogêneo é 8e^{x}. O chute padrão para um termo Ae^{\alpha x} é y_p = K e^{\alpha x} com K constante. Porém, se e^{\alpha x} já é solução da homogênea (isto é, se \alpha é raiz da característica), devemos multiplicar o chute por x elevado à multiplicidade da raiz para obter um ansatz válido. Aqui \alpha=1 e vemos que e^{x} corresponde à raiz r=1 da característica (simples). Logo multiplicamos por x uma vez e escolhemos
y_p(x)=A x e^{x},
onde A é uma constante a determinar.
Explicação do porquê multiplicar por x: se não fizermos isso, o substituto seria colinear com uma solução homogênea e não permitiria ajustar para igualar o termo não-homogêneo.

Passo 5

Calcular as derivadas necessárias de y_p. Usamos a regra do produto e a derivada de e^{x}.
Primeira derivada:
y_p = A x e^{x}
Aplicando produto:
y_p' = A\big(1\cdot e^{x} \cdot x' + x\cdot e^{x}\big) = A(e^{x} + x e^{x}) = A e^{x}(x+1).
Segunda derivada:
Derivando y_p' = A e^{x}(x+1) (novamente produto entre e^{x} e x+1):
y_p'' = A\big(e^{x}(x+1) + e^{x}\cdot 1\big) = A e^{x}(x+1+1) = A e^{x}(x+2).
Passo a passo das contas: derivada de x e^{x} é e^{x}+x e^{x}. Derivada de e^{x}(x+1) é e^{x}(x+1) + e^{x}.

Passo 6

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e resolver para A.
LHS da equação com y_p:
y_p'' - 5y_p' + 4y_p = A e^{x}(x+2) - 5A e^{x}(x+1) + 4A x e^{x}.
Colocando A e^{x} em evidência:
= A e^{x}\big[(x+2) -5(x+1) + 4x\big].
Agora simplificamos o colchete:
(x+2) -5(x+1) + 4x = x+2 -5x -5 +4x = (x-5x+4x) + (2-5) = 0\cdot x -3 = -3.
Logo
y_p'' - 5y_p' + 4y_p = A e^{x}(-3) = -3A e^{x}.
Isso deve ser igual ao lado direito 8e^{x}. Assim
-3A e^{x} = 8 e^{x} \quad\Rightarrow\quad -3A = 8 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{8}{3}.

Passo 7

Portanto a solução particular é
y_p(x) = -\frac{8}{3} x e^{x}.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{4x} - \frac{8}{3} x e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Dica prática para prova: sempre cheque se a função escolhida para y_p não “colide” com soluções da homogênea; se colidir, multiplique por x tantas vezes quanto a multiplicidade da raiz correspondente.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{4x} - \frac{8}{3}x e^{x}

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