encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária não-homogênea dada:
Informações relevantes do enunciado:
- É uma EDO de ordem
com coeficientes constantes. - O termo não-homogêneo (fonte) é
. - Precisamos achar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada, que é
A técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes é tentar
. Substituindo gera a equação característica:
Passo 3
Vamos fatorar e analisar a equação característica. Observando, esse polinômio é um desenvolvimento conhecido:
Portanto a raiz é
com multiplicidade
.
Passo 4
Quando a raiz
tem multiplicidade
, as soluções independentes da homogênea são
Assim a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação completa. O termo não-homogêneo é
. Normalmente tentaríamos
, mas
já é solução da homogênea — e mais: a raiz
tem multiplicidade
. Isso gera ressonância de ordem
. A regra do método dos coeficientes a determinar diz que devemos multiplicar o palpite por
, onde
é a multiplicidade da raiz (aqui
). Logo tentamos
com
constante a determinar.
Passo 6
Para calcular
é conveniente usar a forma operadora. Defina
. O operador linear à esquerda é
Queremos
. Observe uma propriedade útil: para qualquer inteiro
,
Explicando rapidamente: usando a regra do produto,
então subtraindo
obtemos
.
Passo 7
Aplicando essa propriedade repetidamente para
:
Multiplicando pela constante
,
Passo 8
Igualamos ao lado direito da EDO:
Cancelando
(que é nunca nulo), obtemos
Portanto a solução particular é
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Podemos fatorar
: