encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=4 e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária não-homogênea dada:
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=4e^{t}.
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma EDO de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (fonte) é 4e^{t}.
  • Precisamos achar a solução geral y(t), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada, que é
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0.
A técnica padrão para equações lineares com coeficientes constantes é tentar y=e^{rt}. Substituindo gera a equação característica:
r^{3}-3r^{2}+3r-1=0.

Passo 3

Vamos fatorar e analisar a equação característica. Observando, esse polinômio é um desenvolvimento conhecido:
r^{3}-3r^{2}+3r-1=(r-1)^{3}.
Portanto a raiz é r=1 com multiplicidade 3.

Passo 4

Quando a raiz r=1 tem multiplicidade 3, as soluções independentes da homogênea são
e^{t},\quad t e^{t},\quad t^{2} e^{t}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=\big(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}\big)e^{t},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) para a equação completa. O termo não-homogêneo é 4e^{t}. Normalmente tentaríamos Ae^{t}, mas e^{t} já é solução da homogênea — e mais: a raiz r=1 tem multiplicidade 3. Isso gera ressonância de ordem 3. A regra do método dos coeficientes a determinar diz que devemos multiplicar o palpite por t^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz (aqui m=3). Logo tentamos
y_{p}(t)=A t^{3} e^{t},
com A constante a determinar.

Passo 6

Para calcular A é conveniente usar a forma operadora. Defina D=\frac{d}{dt}. O operador linear à esquerda é
L=(D^{3}-3D^{2}+3D-1)=(D-1)^{3}.
Queremos L[y_{p}]=4e^{t}. Observe uma propriedade útil: para qualquer inteiro k\ge 0,
(D-1)\big(t^{k}e^{t}\big)=k\,t^{k-1}e^{t}.
Explicando rapidamente: usando a regra do produto,
D\big(t^{k}e^{t}\big)=k t^{k-1}e^{t}+t^{k}e^{t},
então subtraindo 1\cdot t^{k}e^{t} obtemos k t^{k-1}e^{t}.

Passo 7

Aplicando essa propriedade repetidamente para k=3:
(D-1)\big(t^{3}e^{t}\big)=3t^{2}e^{t},
(D-1)^{2}\big(t^{3}e^{t}\big)=(D-1)\big(3t^{2}e^{t}\big)=3\cdot 2\,t^{1}e^{t}=6t e^{t},
(D-1)^{3}\big(t^{3}e^{t}\big)=(D-1)\big(6t e^{t}\big)=6\cdot 1\,e^{t}=6e^{t}.
Multiplicando pela constante A,
L[y_{p}]= (D-1)^{3}\big(A t^{3}e^{t}\big)=6A\,e^{t}.

Passo 8

Igualamos ao lado direito da EDO:
6A\,e^{t}=4e^{t}.
Cancelando e^{t} (que é nunca nulo), obtemos
6A=4\quad\Rightarrow\quad A=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=\frac{2}{3}t^{3}e^{t}.

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=\big(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}\big)e^{t}+\frac{2}{3}t^{3}e^{t}.
Podemos fatorar e^{t}:
y(t)=e^{t}\left(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}+\frac{2}{3}t^{3}\right).

Resposta

y(t)=e^{t}\left(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}+\frac{2}{3}t^{3}\right).

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