encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=6 x^{2}+2-12 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''-6y'+9y=6x^{2}+2-12e^{3x}.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo de força (lado direito) é a soma de um polinômio 6x^{2}+2 e de um termo exponencial -12e^{3x}.
  • Não há condições iniciais; queremos a solução geral (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''-6y'+9y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rx}: isto dá
r^{2}-6r+9=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2}=0,
logo temos uma raiz real dupla r=3 com multiplicidade 2.
Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade m, as soluções independentes associadas são
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\ldots,x^{m-1}e^{rx}.
Aqui m=2, então as duas soluções independentes são e^{3x} e x e^{3x}. Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Como o lado direito é soma de um polinômio e de uma exponencial, é natural usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que consiste em tentar uma forma de y_{p} parecida com o termo de forçamento, com coeficientes a determinar.
Importante: se a forma proposta coincide com alguma solução da homogênea (ressonância), devemos multiplicar por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente. Aqui o termo -12e^{3x} corresponde a e^{3x} e r=3 é raiz dupla da característica (multiplicidade 2), então haverá ressonância e deveremos multiplicar por x^{2} ao tentar um termo proporcional a e^{3x}.
Separaremos y_{p} em duas partes: uma para o polinômio do lado direito e outra para o termo exponencial:
y_{p}=y_{p}^{(1)}+y_{p}^{(2)},
onde y_{p}^{(1)} trata 6x^{2}+2 e y_{p}^{(2)} trata -12e^{3x}.

Passo 4

Proponho para o termo polinomial um polinômio de grau 2:
y_{p}^{(1)}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C desconhecidos. Vamos calcular derivadas e substituir na equação.
Derivadas:
y_{p}^{(1)\prime}(x)=2Ax+B,
y_{p}^{(1)\prime\prime}(x)=2A.
Aplicando o operador L[y]=y''-6y'+9y em y_{p}^{(1)}:
L[y_{p}^{(1)}]=2A-6(2Ax+B)+9(Ax^{2}+Bx+C).
Agrupando termos por potências de x:
L[y_{p}^{(1)}]=9A x^{2}+(-12A+9B)x+(2A-6B+9C).
Queremos que isto seja igual à parte polinomial do RHS, isto é 6x^{2}+0\cdot x+2. Igualando coeficientes:
9A=6,
-12A+9B=0,
2A-6B+9C=2.
Resolvendo:
A=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Substituindo em -12A+9B=0:
-12\cdot\frac{2}{3}+9B=0 \implies -8+9B=0 \implies B=\frac{8}{9}.
Substituindo A e B na última equação:
2\cdot\frac{2}{3}-6\cdot\frac{8}{9}+9C=2.
Calculando os termos: 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3} e -6\cdot\frac{8}{9}=-\frac{48}{9}=-\frac{16}{3}. Então
\frac{4}{3}-\frac{16}{3}+9C=2 \implies -4+9C=2 \implies 9C=6 \implies C=\frac{2}{3}.
Portanto
y_{p}^{(1)}(x)=\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}.

Passo 5

Agora tratamos o termo exponencial -12e^{3x}. Por causa da ressonância (raiz r=3 com multiplicidade 2), tentamos
y_{p}^{(2)}(x)=K x^{2}e^{3x},
com K constante desconhecida.
Calculamos derivadas. Para simplificar, fatoramos e^{3x} quando possível.
Primeira derivada:
y_{p}^{(2)\prime}=K\big(2x e^{3x}+x^{2}\cdot 3e^{3x}\big)=K e^{3x}(2x+3x^{2}).
Segunda derivada (usar produto e derivada de e^{3x}):
y_{p}^{(2)\prime\prime}=K\Big(3e^{3x}(2x+3x^{2})+e^{3x}(2+6x)\Big)=K e^{3x}\big(9x^{2}+12x+2\big).
Agora aplicamos L:
L[y_{p}^{(2)}]=y_{p}^{(2)\prime\prime}-6y_{p}^{(2)\prime}+9y_{p}^{(2)}.
Substituindo as expressões:
L[y_{p}^{(2)}]=K e^{3x}\big(9x^{2}+12x+2\big)-6K e^{3x}\big(2x+3x^{2}\big)+9K x^{2}e^{3x}.
Fatorando K e^{3x} e somando termos semelhantes:
L[y_{p}^{(2)}]=K e^{3x}\big(9x^{2}+12x+2-12x-18x^{2}+9x^{2}\big).
Dentro do colchete os termos em x^{2} cancelam: 9x^{2}-18x^{2}+9x^{2}=0, e os termos em x também: 12x-12x=0. Sobra apenas o termo constante 2. Logo
L[y_{p}^{(2)}]=2K e^{3x}.
Queremos que isto iguale a parte exponencial do RHS, isto é -12e^{3x}. Assim
2K e^{3x}=-12e^{3x}\implies 2K=-12\implies K=-6.
Portanto
y_{p}^{(2)}(x)=-6x^{2}e^{3x}.

Passo 6

A solução particular total é
y_{p}(x)=y_{p}^{(1)}(x)+y_{p}^{(2)}(x)=\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}-6x^{2}e^{3x}.
A solução geral da equação é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{3x}-6x^{2}e^{3x}+\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}.
Podemos agrupar os termos com e^{3x} se quisermos:
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x-6x^{2}\big)e^{3x}+\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}.

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x-6x^{2}\big)e^{3x}+\frac{2}{3}x^{2}+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}

Exercícios relacionados