encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo de força (lado direito) é a soma de um polinômio
e de um termo exponencial . - Não há condições iniciais; queremos a solução geral (com constantes arbitrárias).
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
: isto dá
Resolvendo a quadrática:
logo temos uma raiz real dupla
com multiplicidade
.
Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, as soluções independentes associadas são
Aqui
, então as duas soluções independentes são
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Como o lado direito é soma de um polinômio e de uma exponencial, é natural usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que consiste em tentar uma forma de
parecida com o termo de forçamento, com coeficientes a determinar.
Importante: se a forma proposta coincide com alguma solução da homogênea (ressonância), devemos multiplicar por
, onde
é a multiplicidade da raiz correspondente. Aqui o termo
corresponde a
e
é raiz dupla da característica (multiplicidade
), então haverá ressonância e deveremos multiplicar por
ao tentar um termo proporcional a
.
Separaremos
em duas partes: uma para o polinômio do lado direito e outra para o termo exponencial:
onde
trata
e
trata
.
Passo 4
Proponho para o termo polinomial um polinômio de grau 2:
com
desconhecidos. Vamos calcular derivadas e substituir na equação.
Derivadas:
Aplicando o operador
em
:
Agrupando termos por potências de
:
Queremos que isto seja igual à parte polinomial do RHS, isto é
. Igualando coeficientes:
Resolvendo:
Substituindo em
:
Substituindo
e
na última equação:
Calculando os termos:
e
. Então
Portanto
Passo 5
Agora tratamos o termo exponencial
. Por causa da ressonância (raiz
com multiplicidade 2), tentamos
com
constante desconhecida.
Calculamos derivadas. Para simplificar, fatoramos
quando possível.
Primeira derivada:
Segunda derivada (usar produto e derivada de
):
Agora aplicamos
:
Substituindo as expressões:
Fatorando
e somando termos semelhantes:
Dentro do colchete os termos em
cancelam:
, e os termos em
também:
. Sobra apenas o termo constante
. Logo
Queremos que isto iguale a parte exponencial do RHS, isto é
. Assim
Portanto
Passo 6
A solução particular total é
A solução geral da equação é soma da homogênea com a particular:
Podemos agrupar os termos com
se quisermos: