encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}=e^{x}\cos x.
Informações relevantes que temos:
  • É uma equação linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • Termo não-homogêneo (lado direito):e^{x}\cos x.
  • Precisamos obter a solução geraly(x)=y_h(x)+y_p(x), ondey_hé solução da homogênea ey_pé uma particular.
]

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}=0.
Para isso escrevemos a equação característica substituindo y^{(k)} por r^{k}:
r^{3}+r^{2}=0.
Fatorando:
r^{2}(r+1)=0.
As raízes são r=0 (com multiplicidade 2) e r=-1. Regras básicas: para raiz real simples r=a temos termo e^{ax}; para raiz r=0 obtemos polinômios em x (pois e^{0x}=1). Como r=0 tem multiplicidade 2, os dois termos independentes são 1 e x. Assim a solução homogênea é
y_h(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}=e^{x}\cos x.
Método escolhido: coeficientes indeterminados, porque o lado direito é da forma e^{ax} vezes função trigonométrica simples. A forma de tentativa usual para e^{x}\cos x é
y_p(x)=e^{x}\big(A\cos x + B\sin x\big),
onde A,B são constantes a determinar. Antes de usar essa forma verificamos se há ressonância: isso ocorreria se r=1\pm i fosse raiz da equação característica. Como as raízes da característica são 0,0,-1, não há ressonância com 1\pm i. Portanto a forma acima é adequada sem multiplicar por polinômio em x.
Uma forma eficiente de aplicar o operador diferencial é usar a propriedade de deslocamento: se L(D) é um polinômio em D=\tfrac{d}{dx}, então
L(D)\big[e^{ax}u(x)\big]=e^{ax}L(D+a)\big[u(x)\big].
Isto vem de que D(e^{ax}u)=e^{ax}(D+a)u e estende-se por polinômio. Vamos usar isso com a=1.

Passo 4

Definimos o operador da equação:
L(D)=D^{3}+D^{2}.
Pelo deslocamento, para y_p=e^{x}u(x) com u(x)=A\cos x+B\sin x temos
L(D)[y_p]=e^{x}L(D+1)[u].
Calculamos L(D+1):
L(D+1)=(D+1)^{3}+(D+1)^{2}.
Expandindo:
(D+1)^{3}=D^{3}+3D^{2}+3D+1,
(D+1)^{2}=D^{2}+2D+1,
logo
L(D+1)=D^{3}+4D^{2}+5D+2.

Passo 5

Agora aplicamos L(D+1) sobre u(x)=A\cos x+B\sin x. Primeiro recorde das derivadas:
D[u]= -A\sin x + B\cos x,
D^{2}[u]= -A\cos x - B\sin x = -u,
D^{3}[u]= -D[u].
Substituindo em D^{3}+4D^{2}+5D+2 obtemos
L(D+1)[u]=D^{3}[u]+4D^{2}[u]+5D[u]+2u = (-D[u]) +4(-u)+5D[u]+2u.
Agrupando termos de D[u] e u:
L(D+1)[u]=4D[u]-2u.
Agora calculemos explicitamente 4D[u]-2u. Usando D[u]= -A\sin x + B\cos x e u=A\cos x+B\sin x:
4D[u]-2u = 4(-A\sin x + B\cos x) -2(A\cos x + B\sin x).
Separando coeficientes de \cos x e \sin x:
\text{coeficiente de }\cos x: \;4B -2A,
\text{coeficiente de }\sin x: \;-4A -2B.
Como L(D)[y_p]=e^{x}L(D+1)[u] deve ser igual a e^{x}\cos x, ao cancelar e^{x} obtemos o sistema
\begin{cases} 4B -2A = 1,\\[4pt] -4A -2B = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema. Da segunda equação:
-4A -2B = 0 \quad\Rightarrow\quad -4A = 2B \quad\Rightarrow\quad B = -2A.
Substituindo em 4B -2A =1:
4(-2A) -2A =1 \quad\Rightarrow\quad -8A -2A =1 \quad\Rightarrow\quad -10A =1.
Logo
A = -\tfrac{1}{10}.
E então
B = -2A = -2\big(-\tfrac{1}{10}\big) = \tfrac{1}{5}.

Passo 7

Logo a solução particular é
y_p(x)=e^{x}\Big(-\tfrac{1}{10}\cos x + \tfrac{1}{5}\sin x\Big) = \frac{e^{x}}{10}\big(-\cos x + 2\sin x\big).
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{-x}+e^{x}\Big(-\tfrac{1}{10}\cos x + \tfrac{1}{5}\sin x\Big).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{-x}+e^{x}\Big(-\tfrac{1}{10}\cos x + \tfrac{1}{5}\sin x\Big)

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