encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes que temos:
- •É uma equação linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
- •Termo não-homogêneo (lado direito):e^{x}\cos x.
- •Precisamos obter a solução geraly(x)=y_h(x)+y_p(x), ondey_hé solução da homogênea ey_pé uma particular.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
Para isso escrevemos a equação característica substituindo
por
:
Fatorando:
As raízes são
(com multiplicidade 2) e
. Regras básicas: para raiz real simples
temos termo
; para raiz
obtemos polinômios em
(pois
). Como
tem multiplicidade 2, os dois termos independentes são
e
. Assim a solução homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Método escolhido: coeficientes indeterminados, porque o lado direito é da forma
vezes função trigonométrica simples. A forma de tentativa usual para
é
onde
são constantes a determinar. Antes de usar essa forma verificamos se há ressonância: isso ocorreria se
fosse raiz da equação característica. Como as raízes da característica são
, não há ressonância com
. Portanto a forma acima é adequada sem multiplicar por polinômio em
.
Uma forma eficiente de aplicar o operador diferencial é usar a propriedade de deslocamento: se
é um polinômio em
, então
Isto vem de que
e estende-se por polinômio. Vamos usar isso com
.
Passo 4
Definimos o operador da equação:
Pelo deslocamento, para
com
temos
Calculamos
:
Expandindo:
logo
Passo 5
Agora aplicamos
sobre
. Primeiro recorde das derivadas:
Substituindo em
obtemos
Agrupando termos de
e
:
Agora calculemos explicitamente
. Usando
e
:
Separando coeficientes de
e
:
Como
deve ser igual a
, ao cancelar
obtemos o sistema
Passo 6
Resolvendo o sistema. Da segunda equação:
Substituindo em
:
Logo
E então
Passo 7
Logo a solução particular é
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: