Q13) Se f(x)=x^2-18 ln (x), cal cule o comprimento de arco ao longo da curva de (1,1) a (3, f(3)).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2-18ln(x)
e pede o comprimento de arco da curva de x=1 até x=3. O conteúdo aqui é a fórmula de comprimento de arco para função de uma variável, que diz
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddx!l(x^2r)-18ddx!l(ln(x)r) =2x-18x

Passo 3

Substituímos f'(x) na fórmula do comprimento de arco:
L=integral1^3raiz1+l(2x-tfrac18xr)^2;dx

Passo 4

Expandimos o quadrado dentro da raiz para ver que é um quadrado perfeito:
l(2x-tfrac18xr)^2 =4x^2-2cdot2xcdottfrac18x+tfrac164x^2 =4x^2-tfrac12+tfrac164x^2,
de onde
1+l(2x-tfrac18xr)^2 =4x^2+tfrac12+tfrac164x^2 =l(2x+tfrac18xr)^2
Como x>0, raiz(2x+tfrac18x)^2=2x+tfrac18x

Passo 5

O integral fica então
L=integral1^3l(2x+tfrac18xr);dx

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral!2x,dx=x^2, integral!18x,dx=18ln(x)
Logo
L=l[x^2+tfrac18ln(x)r]1^3 =l(9+tfrac18ln(3)r)-l(1+tfrac18ln(1)r) =8+18ln(3)

Resposta

O comprimento de arco é
L=8+18ln(3)

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