Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Nos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0
Nos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dada a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
. - A pergunta é: encontrar a solução geral dessa equação diferencial (ou seja, a família de todas as soluções).
Passo 2
Ideia inicial (teste de solução exponencial): vamos testar soluções da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo). Por que essa escolha? Porque derivadas de
são múltiplos de
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em
. Escrevendo as derivadas:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação diferencial, todos os termos têm o fator comum
(que nunca é zero), então podemos dividi-lo. Isso leva à equação característica:
Explicando: essa é a equação algébrica cuja raiz
determina a exponencial
que resolve a EDO.
Passo 4
Resolver o polinômio por fatoração por agrupamento. Agrupamos termos convenientemente:
Colocando fator comum
:
Agora fatoramos
como diferença de quadrados:
Portanto
Passo 5
Encontramos as raízes da equação característica e suas multiplicidades:
-
é raiz de multiplicidade . -
é raiz simples (multiplicidade ).
Regra importante (aula curta): para uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, se
é raiz da equação característica de multiplicidade
, então as soluções independentes associadas a essa raiz são
Aqui, para
com
obtemos
e
. Para
obtemos
.
Passo 6
As três soluções linearmente independentes que formam uma base de soluções são:
Assim, a solução geral da equação, combinação linear dessas soluções com constantes arbitrárias (constantes de integração), é:
onde
são constantes reais (ou complexas, dependendo do contexto) determinadas pelas condições iniciais, se houver.