Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Nos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a equação diferencial homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes \;y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=0\;.
  • A pergunta é: encontrar a solução geral dessa equação diferencial (ou seja, a família de todas as soluções).

Passo 2

Ideia inicial (teste de solução exponencial): vamos testar soluções da forma \;y=e^{rx}\;, onde \;r\; é um número (possivelmente complexo). Por que essa escolha? Porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em r. Escrevendo as derivadas:
y = e^{rx},\qquad y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx},\qquad y''' = r^{3} e^{rx}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação diferencial, todos os termos têm o fator comum e^{rx} (que nunca é zero), então podemos dividi-lo. Isso leva à equação característica:
r^{3}-r^{2}-r+1=0.
Explicando: essa é a equação algébrica cuja raiz r determina a exponencial e^{rx} que resolve a EDO.

Passo 4

Resolver o polinômio por fatoração por agrupamento. Agrupamos termos convenientemente:
r^{3}-r^{2}-r+1 = (r^{3}-r^{2})+(-r+1) = r^{2}(r-1)-1(r-1).
Colocando fator comum (r-1):
r^{2}(r-1)-1(r-1)=(r-1)(r^{2}-1).
Agora fatoramos r^{2}-1 como diferença de quadrados:
r^{2}-1=(r-1)(r+1).
Portanto
r^{3}-r^{2}-r+1=(r-1)^{2}(r+1).

Passo 5

Encontramos as raízes da equação característica e suas multiplicidades:
  • r=1 é raiz de multiplicidade 2.
  • r=-1 é raiz simples (multiplicidade 1).
Regra importante (aula curta): para uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, se r é raiz da equação característica de multiplicidade m, então as soluções independentes associadas a essa raiz são
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\;\ldots,\; x^{m-1}e^{rx}.
Aqui, para r=1 com m=2 obtemos e^{x} e x e^{x}. Para r=-1 obtemos e^{-x}.

Passo 6

As três soluções linearmente independentes que formam uma base de soluções são:
e^{x},\qquad x e^{x},\qquad e^{-x}.
Assim, a solução geral da equação, combinação linear dessas soluções com constantes arbitrárias (constantes de integração), é:
y = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + C_{3} e^{-x},
onde \;C_{1},C_{2},C_{3}\; são constantes reais (ou complexas, dependendo do contexto) determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Resposta

y = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x} + C_{3} e^{-x}

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