Calcule o centroide do semidisco superior de raio a dado pelas inequações x^{2}+y^{2} \leq a^{2}, y \geq 0. Faça isto de duas formas: (i) usando coordenadas cartesianas; (ii) usando
coordenadas polares.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.\n
  • Pede-se o centroide (centro de massa de uma lâmina homogênea) do semidisco superior definido por \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2},\; y\ge 0\}.\n
  • Temos raio \;a>0.\n
  • Precisamos calcular as coordenadas do centroide (\bar x,\bar y) de duas maneiras: (i) usando coordenadas cartesianas; (ii) usando coordenadas polares.\n
  • Assumimos densidade superficial uniforme (constante), então as fórmulas do centroide serão expressas em termos de integrais sobre a região.\n

Passo 2

Fórmulas básicas e explicação do que cada símbolo significa.\n
  • Área da região: \;A=\iint_{D} dA, onde D é o semidisco.\n
  • Coordenadas do centroide (para densidade constante): \displaystyle \bar x=\frac{1}{A}\iint_{D} x\,dA e \displaystyle \bar y=\frac{1}{A}\iint_{D} y\,dA.\n
  • Aqui dA é o elemento de área (em cartesianas dA=dx\,dy; em polares dA=r\,dr\,d\theta).\n
    Vou calcular A, \iint_D x\,dA e \iint_D y\,dA em cada sistema e depois dividir para obter \bar x,\bar y.

Passo 3

Cálculo da área A do semidisco (uso de cartesianas para mostrar um cálculo explícito).\n
  • Em cartesianas podemos escrever\n
A=\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dy\,dx=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx.\n
  • Fazer a substituição x=a\sin\theta, então dx=a\cos\theta\,d\theta e \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos\theta. Os limites x=-a\to\theta=-\tfrac{\pi}{2} e x=a\to\theta=\tfrac{\pi}{2}. Assim\n
A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} a\cos\theta\cdot a\cos\theta\,d\theta=a^{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta.\n
  • Sabendo que \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}, obtemos\n
A=a^{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi a^{2}}{2}.

Passo 4

Cálculo de \bar x pelo método cartesiano: argumento de simetria e integral.\n
  • A região é simétrica em relação ao eixo y (para cada ponto (x,y) existe (-x,y) na região). Para uma lâmina homogênea, essa simetria implica \bar x=0.\n
  • Mostrando via integral:\n
\iint_{D} x\,dA=\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} x\,dy\,dx =\int_{-a}^{a} x\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx.\n
  • A função x\sqrt{a^{2}-x^{2}} é ímpar e o intervalo é simétrico, logo a integral é 0. Portanto\n
\bar x=\frac{1}{A}\cdot 0=0.

Passo 5

Cálculo de \bar y pelo método cartesiano (integrais passo a passo).\n
  • Numerador:\n
\iint_{D} y\,dA=\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} y\,dy\,dx.\n
  • Calcule a integral interna em y: \displaystyle \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} y\,dy=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}-x^{2}).\n
  • Assim\n
\iint_{D} y\,dA=\int_{-a}^{a}\frac{1}{2}(a^{2}-x^{2})\,dx=\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}(a^{2}-x^{2})\,dx.\n
  • Use simetria para integrar de 0 a a:\n
\int_{-a}^{a}(a^{2}-x^{2})\,dx=2\int_{0}^{a}(a^{2}-x^{2})\,dx =2\left[a^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a}=2\left(a^{3}-\frac{a^{3}}{3}\right)=\frac{4}{3}a^{3}.\n
  • Então o numerador é\n
\iint_{D} y\,dA=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}a^{3}=\frac{2}{3}a^{3}.\n
  • Finalmente, dividindo pelo A=\frac{\pi a^{2}}{2}, obtemos\n
\bar y=\frac{\frac{2}{3}a^{3}}{\frac{\pi a^{2}}{2}} =\frac{2}{3}a^{3}\cdot\frac{2}{\pi a^{2}}=\frac{4a}{3\pi}.

Passo 6

Resumo do resultado pelo método cartesiano e pequeno comentário.\n
  • Pelo método cartesiano obtivemos\n
(\bar x,\bar y)=\left(0,\frac{4a}{3\pi}\right).\n
  • Bom momento para respirar: fizemos tudo diretamente com integrais em x,y e usamos simetria para simplificar \bar x.

Passo 7

Configuração do cálculo em coordenadas polares (explicando as fórmulas e o elemento de área).\n
  • Em polares temos x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta.\n
  • A região D em polares é simples: r varia de 0 a a e \theta varia de 0 a \pi (porque é o semicírculo superior).\n
  • Reescrevemos as integrais do centroide usando essas expressões.

Passo 8

Cálculo da área A em coordenadas polares (checar consistência com o cálculo anterior).\n
A=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{a} d\theta =\int_{0}^{\pi}\frac{a^{2}}{2}\,d\theta=\frac{a^{2}}{2}\cdot\pi=\frac{\pi a^{2}}{2},
igual ao resultado anterior.

Passo 9

Cálculo de \bar x em coordenadas polares (separação de variáveis e simetria).\n
  • Numerador:\n
\iint_{D} x\,dA=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} (r\cos\theta)\, (r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi}\cos\theta\left(\int_{0}^{a} r^{2}\,dr\right)d\theta.\n
  • Calcule \displaystyle \int_{0}^{a} r^{2}\,dr=\frac{a^{3}}{3}. Então\n
\iint_{D} x\,dA=\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta.\n
  • Como \displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=0, segue que \iint_{D} x\,dA=0 e portanto\n
\bar x=0.

Passo 10

Cálculo de \bar y em coordenadas polares (separação e avaliação explícita).\n
  • Numerador:\n
\iint_{D} y\,dA=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} (r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi}\sin\theta\left(\int_{0}^{a} r^{2}\,dr\right)d\theta =\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.\n
  • Avaliando a integral em \theta: \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=[- \cos\theta]_{0}^{\pi}= -(-1)-(-1)=2.\n
  • Assim o numerador é \displaystyle \frac{a^{3}}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}a^{3}, exatamente como no método cartesiano.\n
  • Dividindo por A=\frac{\pi a^{2}}{2} obtemos novamente\n
\bar y=\frac{\frac{2}{3}a^{3}}{\frac{\pi a^{2}}{2}}=\frac{4a}{3\pi}.

Passo 11

Conclusão e observação final (coincidência dos resultados).\n
  • Os dois métodos (cartesiano e polar) concordam e nos dão o mesmo centroide:\n
(\bar x,\bar y)=\left(0,\frac{4a}{3\pi}\right).\n
  • Comentário amigo: é comum e reconfortante ver que o uso de simetria (para \bar x) e a escolha de coordenadas apropriadas tornam os cálculos bem diretos. Força aí para a prova — você chegou no resultado por dois caminhos diferentes, o que fixa bem a técnica!

Resposta

(i) \displaystyle \left(0,\frac{4a}{3\pi}\right)\n
(ii) \displaystyle \left(0,\frac{4a}{3\pi}\right)

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