Calcule o centroide do semidisco superior de raio
dado pelas inequações
. Faça isto de duas formas: (i) usando coordenadas cartesianas; (ii) usando
coordenadas polares.
coordenadas polares.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.\n
- Pede-se o centroide (centro de massa de uma lâmina homogênea) do semidisco superior definido por
.\n - Temos raio
.\n - Precisamos calcular as coordenadas do centroide
de duas maneiras: (i) usando coordenadas cartesianas; (ii) usando coordenadas polares.\n - Assumimos densidade superficial uniforme (constante), então as fórmulas do centroide serão expressas em termos de integrais sobre a região.\n
Passo 2
Fórmulas básicas e explicação do que cada símbolo significa.\n
- Área da região:
, onde é o semidisco.\n - Coordenadas do centroide (para densidade constante):
e .\n - Aqui
é o elemento de área (em cartesianas ; em polares ).\n
Vou calcular, e em cada sistema e depois dividir para obter .
Passo 3
Cálculo da área
do semidisco (uso de cartesianas para mostrar um cálculo explícito).\n
- Em cartesianas podemos escrever\n
- Fazer a substituição
, então e . Os limites e . Assim\n
- Sabendo que
, obtemos\n
Passo 4
Cálculo de
pelo método cartesiano: argumento de simetria e integral.\n
- A região é simétrica em relação ao eixo
(para cada ponto existe na região). Para uma lâmina homogênea, essa simetria implica .\n - Mostrando via integral:\n
- A função
é ímpar e o intervalo é simétrico, logo a integral é . Portanto\n
Passo 5
Cálculo de
pelo método cartesiano (integrais passo a passo).\n
- Numerador:\n
- Calcule a integral interna em
: \n - Assim\n
- Use simetria para integrar de
a :\n
- Então o numerador é\n
- Finalmente, dividindo pelo
, obtemos\n
Passo 6
Resumo do resultado pelo método cartesiano e pequeno comentário.\n
- Pelo método cartesiano obtivemos\n
- Bom momento para respirar: fizemos tudo diretamente com integrais em
e usamos simetria para simplificar .
Passo 7
Configuração do cálculo em coordenadas polares (explicando as fórmulas e o elemento de área).\n
- Em polares temos
e .\n - A região
em polares é simples: varia de a e varia de a (porque é o semicírculo superior).\n - Reescrevemos as integrais do centroide usando essas expressões.
Passo 8
Cálculo da área
em coordenadas polares (checar consistência com o cálculo anterior).\n
igual ao resultado anterior.
Passo 9
Cálculo de
em coordenadas polares (separação de variáveis e simetria).\n
- Numerador:\n
- Calcule
. Então\n
- Como
, segue que e portanto\n
Passo 10
Cálculo de
em coordenadas polares (separação e avaliação explícita).\n
- Numerador:\n
- Avaliando a integral em
: \n - Assim o numerador é
, exatamente como no método cartesiano.\n - Dividindo por
obtemos novamente\n
Passo 11
Conclusão e observação final (coincidência dos resultados).\n
- Os dois métodos (cartesiano e polar) concordam e nos dão o mesmo centroide:\n
- Comentário amigo: é comum e reconfortante ver que o uso de simetria (para
) e a escolha de coordenadas apropriadas tornam os cálculos bem diretos. Força aí para a prova — você chegou no resultado por dois caminhos diferentes, o que fixa bem a técnica!
Resposta
(i)
\n
(ii)
(ii)