Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Nos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0.
Informações dadas: a equação envolve y e suas derivadas até a terceira ordem; não há termos independentes (lado direito é zero); procuramos a solução geral (familia com constantes arbitrárias). Não há outras condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Ideia prática (motivo didático): tentar soluções da forma y=e^{rx}, porque derivadas de e^{rx} trazem fatores simples em r que transformam a equação diferencial numa equação algébrica em r. Seja y=e^{rx}. Então
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx},\qquad y''' = r^3 e^{rx}.
Substituindo na equação dada, obtemos
r^3 e^{rx} - 3 r^2 e^{rx} + 3 r e^{rx} - e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação algébrica (chamada equação característica)
r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0.

Passo 3

Agora fatoramos a equação característica. Observe que
(r-1)^3 = r^3 - 3r^2 + 3r -1.
Portanto a equação característica é
(r-1)^3 = 0,
ou seja, a raiz r=1 tem multiplicidade 3.

Passo 4

Explicando o efeito de uma raiz repetida (aula curta): quando a equação característica tem uma raiz r de multiplicidade m, as soluções independentes associadas a essa raiz são
e^{rx},\quad x e^{rx},\quad x^2 e^{rx},\\ \ldots,\\ x^{m-1} e^{rx}.
Intuição curta: o operador diferencial correspondente pode ser escrito como (D-r)^m (onde D=\tfrac{d}{dx}). Resolver (D-r)y=0 y=C e^{rx}. Para (D-r)^2 y=0 obtemos y=(C_1 + C_2 x)e^{rx} (pode-se ver integrando uma equação do tipo (D-r)u=0 e depois resolvendo (D-r)y=u). Repetindo até multiplicidade m surge um polinômio de grau m-1 multiplicando e^{rx}.
No nosso caso r=1 com multiplicidade 3. Então as três soluções independentes são
e^{x},\quad x e^{x},\quad x^{2} e^{x}.

Passo 5

Formando a solução geral como combinação linear das três soluções independentes, obtemos
y(x) = \big(C_{1} + C_{2} x + C_{3} x^{2}\big) e^{x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias (reais, no caso de interesse real).

Passo 6

Verificação rápida da independência (cheque): avaliando a Wronskiana no ponto x=0 mostramos que as três soluções são linearmente independentes. As funções e suas derivadas em 0 são
\begin{array}{l} f_1(x)=e^{x},\\ f_1(0)=1,\\ f_1'(0)=1,\\ f_1''(0)=1,\\[4pt] f_2(x)=x e^{x},\\ f_2(0)=0,\\ f_2'(0)=1,\\ f_2''(0)=2,\\[4pt] f_3(x)=x^{2} e^{x},\\ f_3(0)=0,\\ f_3'(0)=0,\\ f_3''(0)=2. \end{array}
A matriz do Wronskiano em x=0 é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix},
cujo determinante vale 2\neq 0. Logo as funções são independentes e geram a solução geral acima.]

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}\big)e^{x}

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