VIQ - Nos Problemas 1 a 6 é dado um sistema homogêneo de equacões diferenciais lineares de primeira ordem e duas funções vetoriais
\mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)}.
2. Mostre que as funções dadas são soluções do sistema de equações diferenciais dado.
b. Mostre que
\mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}+c_{2} \mathbf{x}^{(2)} também é solução do sistema de equações diferenciais dado para quaisquer valores de
e
.
c. Mostre que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções do sistema dado.
\mathbf{x}^{(1)} e \mathbf{x}^{(2)}.
2. Mostre que as funções dadas são soluções do sistema de equações diferenciais dado.
b. Mostre que
\mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}+c_{2} \mathbf{x}^{(2)} também é solução do sistema de equações diferenciais dado para quaisquer valores de
c. Mostre que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções do sistema dado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas, dadas um sistema homogêneo de equações diferenciais lineares de primeira ordem e duas funções vetoriais
e
. Vou deixar claro o que foi dado e o que é pedido:
- Dado: um sistema homogêneo de primeira ordem
onde
é uma matriz
(cada entrada é uma função de
com regularidade suficiente para diferenciarmos) e duas funções vetoriais
e
(cada uma é um vetor coluna de dimensão 2 cujas componentes são diferenciáveis).
-
Pedidos:
(a) Mostrar quee são soluções do sistema, isto é, verificar que para para todos osdo domínio. (b) Mostrar que a combinação linearé também solução para quaisquer constantes. (c) Mostrar queforma um conjunto fundamental de soluções do sistema, ou seja: são linearmente independentes e, portanto, sua combinação linear geral fornece toda solução do sistema.
Não estou resolvendo um caso numérico específico aqui: o procedimento abaixo é a forma padrão, passo a passo, para provar (a), (b) e (c) para qualquer sistema e quaisquer vetores dados que satisfaçam as hipóteses (componentes diferenciáveis etc.). Agora vamos executar essas demonstrações detalhadamente.
Passo 2
Parte (a) — como verificar diretamente que uma função vetorial é solução.
Primeiro eu explico o que significa “ser solução”: uma função vetorial
é solução de
se, ao calcular suas derivadas componentes (formando
) e ao calcular o produto matricial
, esses dois vetores são iguais para todo
do domínio.
Como se faz isso na prática (passos mecânicos, nada de pulo de etapa):
- Calculo componente a componente a derivada
. Derivar um vetor é derivar cada componente (regra básica de derivação). - Calculo
usando a definição de multiplicação matriz-vetor: o primeiro componente é a combinação linear das entradas da primeira linha de com as componentes de ; idem para o segundo componente com a segunda linha. - Comparo componente a componente: se as duas componentes do vetor
coincidem com as do vetor para todo , então é solução.
Exemplo didático (mini-exemplo para fixar): se
então
e
Comparar
com
e
com
. Se ambas igualdades valem para todo
, então
é solução. É só seguir esses subpassos com as funções concretas que vieram no enunciado.
Passo 3
Parte (b) — prova geral de que combinações lineares de soluções são soluções (princípio da superposição).
Agora eu mostro por que, de forma geral, se
e
satisfazem
, então qualquer combinação linear também satisfaz. Esta é uma propriedade fundamental das equações lineares homogêneas (superposição). Vou fazer passo a passo, com nada escondido:
Sejam constantes
e defina
- Derivo
. Como derivada é operação linear,
- Como
são soluções, para vale . Substituo:
- Uso a linearidade do produto matriz-vetor com respeito à soma e à multiplicação por escalar (distributividade):
Conclusão:
satisfaz
, logo é solução. Pronto — esse argumento vale para quaisquer constantes
.
Passo 4
Parte (c) — o que é “conjunto fundamental” e estratégia para provar que
é tal conjunto.
Definição prática: num sistema linear homogêneo de ordem 1 com matriz
,
- um conjunto de duas soluções forma um conjunto fundamental se são linearmente independentes (não existe combinação não trivial que dê o vetor zero para todo
), e então qualquer solução do sistema pode ser escrita como combinação linear dessas duas soluções. Em outras palavras: são uma base do espaço de soluções (que tem dimensão 2).
Plano de prova:
- Mostrar que
e são linearmente independentes. O teste prático: calcular a Wronskiana (determinante formado pelas duas soluções como colunas) e mostrar que em algum instante ela é não nula:
Se existir
com
, então as duas colunas são linearmente independentes naquele
e, por propriedades das soluções de sistemas lineares, independentes para todos os
do domínio (ou seja, não colapsam para combinação trivial em todos os
).
- Mostrar que, uma vez que são independentes, elas geram todo o espaço de soluções (qualquer solução é combinação linear). Para isso uso o argumento do problema de valor inicial (teorema de existência e unicidade): dado qualquer solução
, pego um tempo fixo onde . Então as colunas da matriz
são linearmente independentes em
, o que significa que
é invertível. Posso então resolver para constantes
a equação
Como
é invertível, existe uma única solução
. Agora considere a combinação
Pelo item (b)
é solução do sistema e satisfaz
(pela escolha dos
's). Pelo teorema de unicidade do problema de valor inicial (que diz que um sistema linear com dados iniciais
tem exatamente uma solução), segue que
para todo
. Assim qualquer solução
é combinação linear das duas soluções dadas — ou seja, as duas formam uma base do espaço de soluções, i.e., um conjunto fundamental.
Vou agora detalhar os passos para a verificação do Wronskiano e a ligação com invertibilidade, porque é aí que a coisa costuma travar na prova.
Passo 5
Detalhe sobre o Wronskiano e independência linear (passo a passo).
Definição e cálculo:
- Formo a matriz fundamental
colocando e como colunas:
- O Wronskiano é
Relação com independência:
- Se
para algum , então as colunas de são linearmente independentes (porque o determinante não nulo caracteriza matrizes invertíveis). Logo os vetores e não são múltiplos entre si. - Para sistemas lineares com
contínua, a propriedade de independência persiste: se duas soluções são independentes em um ponto, elas são independentes em todo o domínio (uma consequência do fato de que o conjunto de zeros do Wronskiano, se o Wronskiano satisfaz uma certa equação de primeira ordem, é isolado a menos de ser identicamente zero — isto é a ideia por trás da fórmula de Liouville; mas para uma prova de curso basta a observação prática: existência de um ponto onde é invertível permite construir solução geral como abaixo).
Como usar isso para formar solução geral:
- Dado um
solução qualquer, escolho com . Como é invertível, encontro únicos tais que . - A combinação linear
é solução (passo 3) e coincide com em . Pelo teorema de unicidade do problema de valor inicial, para todo . Logo gera todo o espaço de soluções.]
Passo 6
Comentário prático para a prova (e para você, sem pânico): o que você precisa mostrar no exame e em que ordem.
-
Para (a): para cada uma das duas
que o enunciado fornece, calcule e calcule ; escreva as duas expressões e mostre que são iguais componente a componente. Isso fecha (a). -
Para (b): escreva
, derive-a, use linearidade e a igualdade de cada para concluir . É uma dedução curta: mostre cada linha da dedução no seu caderno. -
Para (c): calcule o Wronskiano
(determinante das colunas). Mostre que existe algum em que (normalmente o enunciado dá isso explicitamente ou você verifica que o determinante não é identicamente zero). Então resolva a equação inicial
explique que
e use unicidade do problema de valor inicial para concluir que qualquer solução
é essa combinação linear para todo
. Termine dizendo: portanto são linearmente independentes e geram todo o espaço de soluções, logo são conjunto fundamental.
Se no enunciado o Wronskiano for identicamente zero, então as soluções são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental — então sempre verifique explicitamente o valor do determinante.
Resposta
(a) As funções
e
são soluções se, ao calcular
e
, as duas expressões coincidirem componente a componente para
.
(b) Qualquer combinação linear é solução, pois
.
(c) Se o Wronskiano satisfaz
para algum
, então
e
são linearmente independentes e, por unicidade do problema de valor inicial, qualquer solução do sistema é combinação linear delas; portanto elas formam um conjunto fundamental.
(b) Qualquer combinação linear
(c) Se o Wronskiano