Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
t^{3} y^{`}+4 t^{2} y=e^{-t} ; y(-1)=0, t<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{3}y' + 4t^{2}y = e^{-t},
com a condição inicial y(-1)=0 para t<0.
Isso é um ODE linear de primeira ordem do tipo
y' + p(t)\,y = q(t).
Vamos identificar p(t) e q(t), encontrar o fator integrante, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo por t^{3} (válido para t\neq0):
y' + \frac{4}{t}y = \frac{e^{-t}}{t^{3}}.
Aqui
p(t) = \frac{4}{t}, \quad q(t) = \frac{e^{-t}}{t^{3}}.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{4}{t}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(4\ln|t|\bigr) = t^{4},
onde usamos \mu(t)>0 mesmo para t<0, já que t^{4}>0.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por \mu(t)=t^{4} obtemos
t^{4}y' + 4t^{3}y = t^{4}\,\frac{e^{-t}}{t^{3}} \;\Longrightarrow\; (t^{4}y)' = t\,e^{-t}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int (t^{4}y)' \,dt = \int t\,e^{-t}\,dt.
No lado direito, por partes ( u=t, dv=e^{-t}dt) dá
\int t\,e^{-t}\,dt = -\,t\,e^{-t} - \int(-e^{-t})\,dt = -\,(t+1)\,e^{-t} + C.
Logo
t^{4}y = -(t+1)e^{-t} + C.

Passo 6

Isolando y:
y(t) = \frac{-(t+1)e^{-t} + C}{t^{4}}.

Passo 7

Usamos y(-1)=0. Substituindo t=-1:
0 = \frac{-((-1)+1)e^{-(-1)} + C}{(-1)^{4}} = \frac{-0 + C}{1} \quad\Longrightarrow\quad C = 0.

Resposta

y(t) = -\,\frac{(t+1)\,e^{-t}}{t^{4}}, \qquad t<0.

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