Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{`}-2 y=e^{2 t} ; y(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dt}-2y=e^{2t}
com condição inicial y(0)=2.
O conteúdo aqui é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dt}+p(t)\,y=g(t),
onde, comparando com \frac{dy}{dt}-2y=e^{2t}, identificamos
p(t)=-2,\qquad g(t)=e^{2t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int -2\,dt\Bigr) =e^{-2t}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(t):
e^{-2t}\frac{dy}{dt}-2e^{-2t}y =e^{-2t}e^{2t}=1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(t)\,y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}y\bigr)=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}y\bigr)\,dt =\int 1\,dt \;\Longrightarrow\; e^{-2t}y = t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolamos y(t):
y(t)=e^{2t}\bigl(t+C\bigr).

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(0)=e^{0}(0+C)=C=2.
Logo a solução que satisfaz y(0)=2 é
y(t)=e^{2t}(t+2).

Resposta

y(t)=e^{2t}\bigl(t+2\bigr).

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