Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
t y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen}(t) ; \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, t>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
t\,y'(t) + 2\,y(t) = \sin(t),
com condição inicial y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1 e domínio t>0.
Isso é uma equação linear na forma padrão
y'(t) + p(t)\,y(t) = g(t),
onde vamos identificar p(t) e g(t) e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo a equação original por t (que é >0), obtemos
y'(t) + \frac{2}{t}\,y(t) = \frac{\sin(t)}{t}.
Aqui p(t)=\tfrac{2}{t} e g(t)=\tfrac{\sin(t)}{t}.
O fator integrante \mu(t) é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(2\ln t\bigr) = t^2.

Passo 3

Multiplicamos a equação por \mu(t)=t^2, ficando
t^2\,y'(t) + 2t\,y(t) = t^2\,\frac{\sin(t)}{t} \quad\Longrightarrow\quad t^2\,y'(t) + 2t\,y(t) = t\sin(t).
O lado esquerdo é exatamente a derivada de t^2\,y(t), pois
\frac{d}{dt}\bigl[t^2\,y(t)\bigr] = 2t\,y(t) + t^2\,y'(t).
Logo a equação vira
\frac{d}{dt}\bigl[t^2\,y(t)\bigr] = t\sin(t).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2\,y(t) = \int t\sin(t)\,dt + C.
Para calcular \int t\sin(t)\,dt, usamos integração por partes:
Escolhemos u = t, dv = \sin(t)\,dt, então du = dt, v = -\cos(t).
Isso dá
\int t\sin(t)\,dt = -t\cos(t) - \int(-\cos(t))\,dt = -t\cos(t) + \int \cos(t)\,dt = -t\cos(t) + \sin(t).
Portanto
t^2\,y(t) = -t\cos(t) + \sin(t) + C.

Passo 5

Isolando y(t), obtemos a solução geral
y(t) = \frac{-t\cos(t) + \sin(t) + C}{t^2}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1.
Substituindo t=\tfrac\pi2:
1 = y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = \frac{-\tfrac\pi2\cos\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr) + \sin\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr) + C}{(\tfrac\pi2)^2} = \frac{0 + 1 + C}{\tfrac{\pi^2}{4}} = \frac{1 + C}{\pi^2/4} = \frac{4(1 + C)}{\pi^2}.
Logo
4(1 + C) = \pi^2 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{\pi^2}{4} - 1.

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é
\boxed{% y(t) = \frac{-t\cos(t) + \sin(t) + \displaystyle\bigl(\tfrac{\pi^2}{4}-1\bigr)}{t^2} \quad(t>0). }

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