Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
e domínio
.
Isso é uma equação linear na forma padrão
Isso é uma equação linear na forma padrão
onde vamos identificar
e
e usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Dividindo a equação original por
(que é
), obtemos
Aqui
e
.
O fator integrante é
O fator integrante
Passo 3
Multiplicamos a equação por
, ficando
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Logo a equação vira
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular
, usamos integração por partes:
Escolhemos ,
, então
,
.
Isso dá
Escolhemos
Isso dá
Portanto
Passo 5
Isolando
, obtemos a solução geral
Passo 6
Usamos a condição inicial
.
Substituindo :
Substituindo
Logo
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é