Em cada item, encontre equações paramétricas associadas à equação cartesiana dada.
\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização para a curva definida pela equação cartesiana
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2},
que é um círculo de centro (x_{0},y_{0}) e raio R. Para isso vamos usar a identidade trigonométrica
\cos^{2}t + \sin^{2}t = 1
e escolher variáveis auxiliares que façam aparecer esse padrão.

Passo 2

Uma forma clássica de parametrizar o círculo é introduzir o parâmetro t (o “ângulo” polar) e definir
x = x_{0} + R\cos t,
y = y_{0} + R\sin t.
Aqui t varia para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Para verificar que essa parametrização realmente satisfaz a equação do círculo, substituímos em
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}.
Temos
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = (R\cos t)^{2} + (R\sin t)^{2} = R^{2}(\cos^{2}t + \sin^{2}t) = R^{2}\cdot1 = R^{2},
como desejado.

Passo 4

Basta então escolher o domínio de t para descrever o círculo completo. Geralmente toma-se
0 \le t < 2\pi,
ou então t\in\mathbb{R} se aceitamos voltas repetidas.

Resposta

A parametrização padrão é
x(t) = x_{0} + R\cos t,\quad y(t) = y_{0} + R\sin t,
com 0 \le t < 2\pi.

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