Resolva as equações diferenciais abaixo:
\frac{d y}{d x}+y=x ; y(0)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
\displaystyle \frac{dy}{dx} + y = x
com condição inicial y(0)=4.
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando cada termo de \displaystyle \frac{dy}{dx}+y=x por \mu(x), obtemos
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = x e^{x}.
No lado esquerdo reconhecemos a derivada de e^{x}y.

Passo 3

Escrevendo explicitamente
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}y\bigr)=x e^{x},
integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x}y = \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C,
onde usamos integração por partes com u=x e dv=e^{x}dx.

Passo 4

Isolando y, resulta
y = x - 1 + C e^{-x}.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=4:
4 = 0 - 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C=5.

Resposta

y(x) = x - 1 + 5e^{-x}.

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