Resolva as equações diferenciais abaixo:
\left(x^{2}-9\right) \frac{d y}{d x}+x y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}-9\bigr)\,\frac{dy}{dx}+x\,y=0
Este é um caso de EDO linear na forma \frac{dy}{dx}+P(x)\,y=0. Vamos resolver usando o fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x^{2}-9 (supondo x^{2}\neq9):
\frac{dy}{dx}+\frac{x}{x^{2}-9}\,y=0.
Aqui P(x)=\tfrac{x}{x^{2}-9}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{x}{x^{2}-9}\,dx\Bigr).
Fazendo u=x^{2}-9\implies du=2x\,dx, temos
\int \frac{x}{x^{2}-9}\,dx =\frac12\int \frac{du}{u} =\frac12\ln\bigl|u\bigr|+\text{const} =\frac12\ln\bigl|x^{2}-9\bigr|.
Logo
\mu(x)=\exp\Bigl(\tfrac12\ln\bigl|x^{2}-9\bigr|\Bigr) =\sqrt{\bigl|x^{2}-9\bigr|}.

Passo 4

Multiplicamos a EDO por \mu(x), obtendo
\sqrt{\bigl|x^{2}-9\bigr|}\,\frac{dy}{dx} +\frac{x}{\sqrt{\bigl|x^{2}-9\bigr|}}\,y =0 \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\Bigl(y\,\sqrt{\bigl|x^{2}-9\bigr|}\Bigr)=0.
Integrando,
y\,\sqrt{\bigl|x^{2}-9\bigr|}=C,
onde C é constante arbitrária. Assim
y=\frac{C}{\sqrt{\bigl|x^{2}-9\bigr|}}.

Resposta

A solução geral é
y(x)=\frac{C}{\sqrt{\bigl|x^{2}-9\bigr|}},
com C constante e domínio \lvert x\rvert>3.

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