Calcule as seguintes integrais duplas:
Calcule integral duplaD e^y-x d x d y sendo D a região plana limitada por: y-x=1 ; y-x=2 ; y=2 x e y=3 x. Resp. (h) e^22.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD e^y - x,dx,dy
onde D é a região limitada pelas retas
;y - x = 1,;y - x = 2,;y = 2x e y = 3x.
O conteúdo aqui é integral dupla e cambio de variável para simplificar a região.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variável
u = y - x, v = yx
Nas linhas que limitam D temos
y - x = 1;Rightarrow;u=1, y - x = 2;Rightarrow;u=2,
e
y=2x;Rightarrow;v=2, y=3x;Rightarrow;v=3
Assim, em (u,v) a região vira o retângulo
1 <= u <= 2, 2 <= v <= 3

Passo 3

Para usar a fórmula
integral duplaD e^y-x,dx,dy = integral duplaR e^u,l|Jr|,du,dv ,
precisamos do jacobiano da inversa.
Da relação v=yx e u=y-x obtemos
x = uv-1, y = v,uv-1
Calculando
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = u(v-1)^2 ]

Passo 4

Substituindo na integral e separando as variáveis, fica
integral duplaD e^y-x,dx,dy = integralv=2^3!integralu=1^2 e^u,u(v-1)^2,du,dv = l[integral1^2u,e^u,dur], l[integral2^31(v-1)^2,dvr]

Passo 5

Calculamos cada parte:
Para v:
integral2^31(v-1)^2,dv =l[-1v-1r]2^3 =-12 + 1 =12
Para u usamos integração por partes:
integral1^2u,e^u,du =l[u,e^u-e^ur]1^2 =(2e^2-e^2)-(1e^1-e^1) =e^2
Multiplicando os resultados,
12 ,times e^2 =e^22

Resposta

e^22

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