Encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
y^prime prime-y^prime=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - y' = -1
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y' = 0
Escrevendo a equação característica, temos
r^2 - r = 0
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r(r-1)=0Rightarrow r1=0,;r2=1
Portanto, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^1cdot x = C1 + C2 e^x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp de
y'' - y' = -1,
observamos que o termo à direita é constante. Proposição típica: supor
yp(x) = A x + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = A, yp''(x) = 0
Substituindo na equação diferencial, dá
0 - A = -1 Longrightarrow A = 1
O parâmetro B não aparece na condição (ele se anula) e será absorvido pela constante C1 da solução homogênea.

Passo 5

A solução particular pode então ser escolhida como
yp(x) = x
Somando com a homogênea, a solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 + C2 e^x + x

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^x + x

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