Encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
O conteúdo envolvido é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Escrevendo a equação característica, temos
logo
Portanto, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
de
observamos que o termo à direita é constante. Proposição típica: supor
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial, dá
O parâmetro
não aparece na condição (ele se anula) e será absorvido pela constante
da solução homogênea.
Passo 5
A solução particular pode então ser escolhida como
Somando com a homogênea, a solução geral é