Determine o volume do sólido S em cada um dos seguintes casos:
S é limitado superiormente pelo parabolóide z=x^2+y^2, inferiormente pelo plano z=0 e sua projeção no plano x y é a região limitada por y=x^2 e x=y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado por cima pelo parabolóide z=x^2+y^2, por baixo pelo plano z=0 e cuja projeção no plano xy é a região D limitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2. Vamos usar um duplo integral para obter esse volume.

Passo 2

Para descrever D, igualamos y=x^2 e x=y^2. Substituindo x=y^2 em y=x^2 y=(y^2)^2=y^4, ou seja y^4-y=0, com soluções y=0 e y=1. Assim em 0<= x<=1 temos
x=y^2implies y=raizx e y=x^2
Logo
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=raizx

Passo 3

O volume é dado por
V=integral duplaD(x^2+y^2),dA =integralx=0^1!integraly=x^2^raizx(x^2+y^2),dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integraly=x^2^raizx(x^2+y^2),dy =l[x^2y+y^33r]y=x^2^y=raizx =x^2raizx+(raizx)^33 -l(x^2cdot x^2+(x^2)^33r)
Isso é
x^52+x^323-x^4-x^63

Passo 5

Agora integramos em x:
V=integral0^1l(x^52+x^323-x^4-x^63r)dx
Calculando termo a termo:
integral0^1x^52dx=27, integral0^1x^323dx=215, integral0^1x^4dx=15, integral0^1x^63dx=121

Passo 6

Somando com os sinais adequados:
V=27+215-15-121 =30+14-21-5105 =18105 =635

Resposta

O volume do sólido S é 635.

Exercícios relacionados