Determine o volume do sólido
em cada um dos seguintes casos:
é limitado superiormente pelo parabolóide
, inferiormente pelo plano
e sua projeção no plano
é a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
limitado por cima pelo parabolóide
, por baixo pelo plano
e cuja projeção no plano
é a região
limitada pelas curvas
e
. Vamos usar um duplo integral para obter esse volume.
Passo 2
Para descrever
, igualamos
e
. Substituindo
em
dá
, ou seja
, com soluções
e
. Assim em
temos
Logo
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Isso é
Passo 5
Agora integramos em
:
Calculando termo a termo:
Passo 6
Somando com os sinais adequados:
Resposta
O volume do sólido
é
.