Encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
y^prime prime+y^prime-2 y=3 e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = 3e^x
O conteúdo envolvido é o método dos coeficientes a determinar, que combina a solução da equação homogênea associada com uma solução particular da parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' + y' - 2y = 0
Montamos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
e encontramos as raízes
r = 1 e r = -2
Logo, a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^-2x

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular yp para
y'' + y' - 2y = 3e^x
Como e^x já aparece na solução homogênea (raiz simples r=1), multiplicamos por x e tomamos
yp = A,x e^x,
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = Al(e^x + x e^xr) = A e^x(1 + x),
yp'' = Al(e^x(1 + x) + e^xr) = A e^x(2 + x)
Substituindo em y'' + y' - 2y:
yp'' + yp' - 2yp = A e^x(2 + x) + A e^x(1 + x) - 2A x e^x = A e^xl(2 + x + 1 + x - 2xr) = 3A e^x
Para que isso seja 3e^x, precisamos de 3A e^x = 3e^x, ou seja A = 1. Então
yp = x e^x

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y = yh + yp = C1 e^x + C2 e^-2x + x e^x

Resposta

y = C1 e^x + C2 e^-2x + x e^x

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